Para um vôo a Marte, os foguetes são lançados na direção da velocidade orbital da Terra. Já para um vôo a Vênus, são lançados na direçào oposta. Explique por quê.
Passo 1
O enunciado pergunta por que, para um voo Terra → Marte, os foguetes são lançados na direção da velocidade orbital da Terra, enquanto para um voo Terra → Vênus os lançamentos são feitos na direção oposta.
Informações relevantes fornecidas implicitamente (que vamos usar):
Informações relevantes fornecidas implicitamente (que vamos usar):
- A Terra, Vênus e Marte orbitam o Sol em órbitas aproximadamente circulares com raios heliocêntricos diferentes:
. - Um lançamento interplanetário precisa colocar a nave numa trajetória heliocêntrica que conecte a órbita da Terra à órbita do planeta alvo (transferência).
Nada mais será assumido; a resolução explicará por que o sentido do impulso (prograde ou retrograde) difere segundo o alvo.
Passo 2
Conceito central: velocidade e energia orbital heliocêntricas.
A energia específica (por unidade de massa) de uma órbita é dada por
A energia específica (por unidade de massa) de uma órbita é dada por
onde
é a velocidade heliocêntrica,
é a distância ao Sol e
é a constante gravitacional do Sol. Essa fórmula mostra que aumentar
aumenta a energia orbital (eleva a órbita); diminuir
baixa a energia (afunda a órbita). Esta ideia física é o que determina se devemos adicionar velocidade na mesma direção do movimento (prograde) ou na direção oposta (retrograde).
Passo 3
Velocidade circular para uma órbita aproximadamente circular de raio
:
Aqui
é a velocidade que mantém uma órbita circular a distância
. Se, no ponto da Terra, a nave receber um impulso que aumente sua velocidade heliocêntrica acima de
, ela vai para uma órbita de maior energia (apogeu mais externo). Se receber um impulso que reduza sua velocidade abaixo de
, vai para uma órbita de menor energia (perigeu mais interno).
Passo 4
Estratégia de transferência usada como referência: transferência de Hohmann (a mais eficiente para mudanças de órbita em muitos casos). Para ir de uma órbita circular de raio
(Terra) para outra circular de raio
(alvo) constrói-se uma elipse de transferência com semieixo maior
A velocidade na órbita de partida, sobre a elipse de transferência, vale (vis–viva)
O impulso necessário no ponto
é o delta‑v
O sinal de
diz se é preciso acelerar (positivo, que se consegue com um impulso prograde) ou desacelerar (negativo, que se consegue com um impulso retrograde).
Passo 5
Análise do sinal de
para os dois casos:
Caso Marte (órbita exterior):
. Então
e
Logo
portanto
. Conclusão: é preciso aumentar a velocidade heliocêntrica no ponto de partida → impulso na mesma direção da velocidade orbital da Terra (prograde).
Caso Vênus (órbita interior):
. Então
e
Logo
portanto
. Conclusão: é preciso diminuir a velocidade heliocêntrica no ponto de partida → impulso na direção oposta à velocidade orbital (retrograde).
Passo 6
Intuição física simples (sem fórmulas): imagine que a Terra e a nave têm uma velocidade ao redor do Sol. Se se quer subir para uma órbita mais externa (Marte), convém “empurrar” a nave para frente no seu movimento ao redor do Sol — isso aumenta sua energia e faz a trajetória ter um apogeu mais afastado. Se se quer cair para uma órbita mais interna (Vênus), convém “frear” a nave (impulso para trás) — isso diminui sua energia e leva a trajetória para mais perto do Sol. É exatamente o que as fórmulas acima quantificam.
Passo 7
Exemplo numérico rápido para ver as magnitudes (valores aproximados, usando unidades em que
é conveniente):
- Tome
, , . - Para Marte:
. Então
enquanto
. Delta positivo (
) → aumentar velocidade (prograde).
- Para Vênus:
. Então
enquanto
. Delta negativo (
) → diminuir velocidade (retrograde).
(Isto é só para ver numericamente o mesmo sinal que a argumentação analítica mostrou.)
(Isto é só para ver numericamente o mesmo sinal que a argumentação analítica mostrou.)
Passo 8
Resumo operacional: o sentido do impulso no momento de escapar da Terra (ou de injetar na transferência heliocêntrica) é escolhido para produzir a alteração correta da energia heliocêntrica:
- para ir a um planeta mais externo (Marte) aumentamos a velocidade heliocêntrica → queimamos prograde;
- para ir a um planeta mais interno (Vênus) diminuímos a velocidade heliocêntrica → queimamos retrograde.
Resposta
Para Marte: lança-se na direção da velocidade orbital da Terra (prograde) porque é preciso aumentar a velocidade heliocêntrica e, assim, elevar a órbita para alcançar um semieixo maior (apogeu externo).
Para Vênus: lança-se na direção oposta (retrograde) porque é preciso diminuir a velocidade heliocêntrica e, assim, reduzir a energia orbital para baixar a órbita e atingir uma distância menor do Sol.
Para Vênus: lança-se na direção oposta (retrograde) porque é preciso diminuir a velocidade heliocêntrica e, assim, reduzir a energia orbital para baixar a órbita e atingir uma distância menor do Sol.