Para um vôo a Marte, os foguetes são lançados na direção da velocidade orbital da Terra. Já para um vôo a Vênus, são lançados na direçào oposta. Explique por quê.

Passo 1

O enunciado pergunta por que, para um voo Terra → Marte, os foguetes são lançados na direção da velocidade orbital da Terra, enquanto para um voo Terra → Vênus os lançamentos são feitos na direção oposta.
Informações relevantes fornecidas implicitamente (que vamos usar):
  • A Terra, Vênus e Marte orbitam o Sol em órbitas aproximadamente circulares com raios heliocêntricos diferentes: r_{\text{Vênus}}<r_{\text{Terra}}<r_{\text{Marte}}ê.
  • Um lançamento interplanetário precisa colocar a nave numa trajetória heliocêntrica que conecte a órbita da Terra à órbita do planeta alvo (transferência).
    Nada mais será assumido; a resolução explicará por que o sentido do impulso (prograde ou retrograde) difere segundo o alvo.

Passo 2

Conceito central: velocidade e energia orbital heliocêntricas.
A energia específica (por unidade de massa) de uma órbita é dada por
\varepsilon=\frac{v^{2}}{2}-\frac{\mu}{r},
onde v é a velocidade heliocêntrica, r é a distância ao Sol e \mu=G M_{\odot} é a constante gravitacional do Sol. Essa fórmula mostra que aumentar v aumenta a energia orbital (eleva a órbita); diminuir v baixa a energia (afunda a órbita). Esta ideia física é o que determina se devemos adicionar velocidade na mesma direção do movimento (prograde) ou na direção oposta (retrograde).

Passo 3

Velocidade circular para uma órbita aproximadamente circular de raio r:
v_{c}=\sqrt{\frac{\mu}{r}}.
Aqui v_{c} é a velocidade que mantém uma órbita circular a distância r. Se, no ponto da Terra, a nave receber um impulso que aumente sua velocidade heliocêntrica acima de v_{c}, ela vai para uma órbita de maior energia (apogeu mais externo). Se receber um impulso que reduza sua velocidade abaixo de v_{c}, vai para uma órbita de menor energia (perigeu mais interno).

Passo 4

Estratégia de transferência usada como referência: transferência de Hohmann (a mais eficiente para mudanças de órbita em muitos casos). Para ir de uma órbita circular de raio r_{1} (Terra) para outra circular de raio r_{2} (alvo) constrói-se uma elipse de transferência com semieixo maior
a=\frac{r_{1}+r_{2}}{2}.
A velocidade na órbita de partida, sobre a elipse de transferência, vale (vis–viva)
v_{t}=\sqrt{\mu\!\left(\frac{2}{r_{1}}-\frac{1}{a}\right)}.
O impulso necessário no ponto r_{1} é o delta‑v
\Delta v = v_{t}-v_{c}.
O sinal de \Delta v diz se é preciso acelerar (positivo, que se consegue com um impulso prograde) ou desacelerar (negativo, que se consegue com um impulso retrograde).

Passo 5

Análise do sinal de \Delta v para os dois casos:
Caso Marte (órbita exterior): r_{2}>r_{1}\Rightarrow a=\dfrac{r_{1}+r_{2}}{2}>r_{1}. Então 1/a<1/r_{1} e
\frac{2}{r_{1}}-\frac{1}{a} > \frac{2}{r_{1}}-\frac{1}{r_{1}}=\frac{1}{r_{1}}.
Logo
v_{t}=\sqrt{\mu\!\left(\frac{2}{r_{1}}-\frac{1}{a}\right)}>\sqrt{\frac{\mu}{r_{1}}}=v_{c},
portanto \Delta v>0. Conclusão: é preciso aumentar a velocidade heliocêntrica no ponto de partida → impulso na mesma direção da velocidade orbital da Terra (prograde).
Caso Vênus (órbita interior): r_{2}<r_{1}\Rightarrow a=\dfrac{r_{1}+r_{2}}{2}<r_{1}. Então 1/a>1/r_{1} e
\frac{2}{r_{1}}-\frac{1}{a} < \frac{2}{r_{1}}-\frac{1}{r_{1}}=\frac{1}{r_{1}}.
Logo
v_{t}=\sqrt{\mu\!\left(\frac{2}{r_{1}}-\frac{1}{a}\right)}<\sqrt{\frac{\mu}{r_{1}}}=v_{c},
portanto \Delta v<0. Conclusão: é preciso diminuir a velocidade heliocêntrica no ponto de partida → impulso na direção oposta à velocidade orbital (retrograde).

Passo 6

Intuição física simples (sem fórmulas): imagine que a Terra e a nave têm uma velocidade ao redor do Sol. Se se quer subir para uma órbita mais externa (Marte), convém “empurrar” a nave para frente no seu movimento ao redor do Sol — isso aumenta sua energia e faz a trajetória ter um apogeu mais afastado. Se se quer cair para uma órbita mais interna (Vênus), convém “frear” a nave (impulso para trás) — isso diminui sua energia e leva a trajetória para mais perto do Sol. É exatamente o que as fórmulas acima quantificam.

Passo 7

Exemplo numérico rápido para ver as magnitudes (valores aproximados, usando unidades em que \mu é conveniente):
  • Tome r_{\text{Terra}}=1{,}00\\ \text{UA}, r_{\text{Vênus}}=0{,}723\\ \text{UA}ê, r_{\text{Marte}}=1{,}524\\ \text{UA}.
  • Para Marte: a=(1{,}00+1{,}524)/2=1{,}262. Então
v_{t,\text{Mars}}=\sqrt{2-\frac{1}{1{,}262}}\approx\sqrt{1{,}208}\approx1{,}099,
enquanto v_{c,\text{Terra}}=\sqrt{1}=1{,}000. Delta positivo ( +0{,}099) → aumentar velocidade (prograde).
  • Para Vênus: a=(1{,}00+0{,}723)/2=0{,}8615. Então
v_{t,\text{Vênus}}=\sqrt{2-\frac{1}{0{,}8615}}\approx\sqrt{0{,}8393}\approx0{,}916,ê
enquanto v_{c,\text{Terra}}=1{,}000. Delta negativo ( -0{,}084) → diminuir velocidade (retrograde).
(Isto é só para ver numericamente o mesmo sinal que a argumentação analítica mostrou.)

Passo 8

Resumo operacional: o sentido do impulso no momento de escapar da Terra (ou de injetar na transferência heliocêntrica) é escolhido para produzir a alteração correta da energia heliocêntrica:
  • para ir a um planeta mais externo (Marte) aumentamos a velocidade heliocêntrica → queimamos prograde;
  • para ir a um planeta mais interno (Vênus) diminuímos a velocidade heliocêntrica → queimamos retrograde.

Resposta

Para Marte: lança-se na direção da velocidade orbital da Terra (prograde) porque é preciso aumentar a velocidade heliocêntrica e, assim, elevar a órbita para alcançar um semieixo maior (apogeu externo).
Para Vênus: lança-se na direção oposta (retrograde) porque é preciso diminuir a velocidade heliocêntrica e, assim, reduzir a energia orbital para baixar a órbita e atingir uma distância menor do Sol.

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