Scjam F(s)=\mathcal{L}\left\{f(t)\right\} e Y(s)=\mathcal{L}\left\{y(t)\right\}. Detcrminc a transformada inversa de Laplace da função:
Y(s)=\frac{3}{(s-1)\left(s^{2}+4\right)} . \quad

Passo 1

O enunciado pede: determinar a transformada inversa de Laplace da função
Y(s)=\frac{3}{(s-1)\left(s^{2}+4\right)}.
Informações dadas: a expressão de Y(s) está totalmente especificada e devemos encontrar y(t)=\mathcal{L}^{-1}\{Y(s)\}. Não há outras condições iniciais fornecidas e assumimos as condições usuais para a transformada de Laplace (funções de classe exponencial, t\ge0).

Passo 2

Estratégia escolhida (explicação didática): vamos usar decomposição em frações parciais para escrever Y(s) como soma de termos cujas transformadas inversas são tabeladas. A decomposição em frações parciais consiste em escrever
\frac{3}{(s-1)(s^{2}+4)}=\frac{A}{s-1}+\frac{Bs+C}{s^{2}+4},
onde A,B,C são constantes a determinar. Isso é útil porque conhecemos transformadas inversas simples: \mathcal{L}^{-1}\{1/(s-a)\}=e^{at}, \mathcal{L}^{-1}\{s/(s^{2}+b^{2})\}=\cos(bt) e \mathcal{L}^{-1}\{b/(s^{2}+b^{2})\}=\sin(bt). Vou explicar cada passo para que você consiga reproduzir na prova.

Passo 3

Montamos a igualdade da decomposição e multiplicamos ambos os lados por (s-1)(s^{2}+4) para eliminar denominadores:
3 = A(s^{2}+4) + (Bs+C)(s-1).
Agora vamos expandir o lado direito e igualar coeficientes de potências de s.

Passo 4

Expandindo:
A(s^{2}+4) + (Bs+C)(s-1) = A s^{2} + 4A + (Bs+C)s - (Bs+C)
= (A+B)s^{2} + (-B+C)s + (4A - C).
Como o lado esquerdo é o constante 3\), isso equivale a: \[(A+B)s^{2} + (-B+C)s + (4A - C) = 0\cdot s^{2} + 0\cdot s + 3.
Igualando coeficientes obtemos o sistema:
\begin{cases} A + B = 0,\\[4pt] -\,B + C = 0,\\[4pt] 4A - C = 3. \end{cases}
Da segunda equação temos C=B\]. Da primeira temos \(B=-A. Substituindo na terceira:
4A - C = 4A - (-A) = 5A = 3 \implies A=\frac{3}{5}.
Logo B=-\frac{3}{5} e C=-\frac{3}{5}.]

Passo 5

Substituindo A,B,C na decomposição:
Y(s)=\frac{3/5}{s-1}+\frac{(-\tfrac{3}{5})s+(-\tfrac{3}{5})}{s^{2}+4} =\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{s-1}-\frac{3}{5}\cdot\frac{s+1}{s^{2}+4}.
Agora separamos o último termo para reconhecer transformadas conhecidas:
\frac{s+1}{s^{2}+4}=\frac{s}{s^{2}+4}+\frac{1}{s^{2}+4},
portanto
Y(s)=\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{s-1}-\frac{3}{5}\cdot\frac{s}{s^{2}+4}-\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{s^{2}+4}.

Passo 6

Lembrete das transformadas inversas que usaremos (explicação didática):
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s-a}\right\}=e^{at}. Aqui a é uma constante real e t é a variável do tempo.
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{s}{s^{2}+b^{2}}\right\}=\cos(bt). Aqui b>0.
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{b}{s^{2}+b^{2}}\right\}=\sin(bt).
No nosso caso a=1 e b=2 porque s^{2}+4=s^{2}+2^{2}. Para a última fração temos \dfrac{1}{s^{2}+4}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{s^{2}+2^{2}}, então \mathcal{L}^{-1}\{1/(s^{2}+4)\}=\dfrac{1}{2}\sin(2t).

Passo 7

Aplicando as transformadas inversas termo a termo (linearidade):
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{s-1}\right\}=\frac{3}{5}e^{t},
\mathcal{L}^{-1}\left\{-\frac{3}{5}\cdot\frac{s}{s^{2}+4}\right\}=-\frac{3}{5}\cos(2t),
\mathcal{L}^{-1}\left\{-\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{s^{2}+4}\right\}=-\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{2}\sin(2t)=-\frac{3}{10}\sin(2t).
Somando os três resultados obtemos a função no tempo:
y(t)=\frac{3}{5}e^{t}-\frac{3}{5}\cos(2t)-\frac{3}{10}\sin(2t),\qquad t\ge0.

Passo 8

Checagem rápida (opcional, só para confiança): aplicar a transformada de Laplace em y(t) usando as regras acima retorna
\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{s-1}-\frac{3}{5}\cdot\frac{s}{s^{2}+4}-\frac{3}{10}\cdot\frac{2}{s^{2}+4}=\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{s-1}-\frac{3}{5}\cdot\frac{s+1}{s^{2}+4},
que é exatamente a decomposição que encontramos, e ao juntar termos volta a ser \dfrac{3}{(s-1)(s^{2}+4)}. Portanto está consistente.

Resposta

\displaystyle y(t)=\frac{3}{5}e^{t}-\frac{3}{5}\cos(2t)-\frac{3}{10}\sin(2t)

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