Scjam F(s)=\mathcal{L}\left\{f(t)\right\} e Y(s)=\mathcal{L}\left\{y(t)\right\}. Detcrminc a transformada inversa de Laplace da função: Y(s)=\frac{3}{(s-1)\left(s^{2}+4\right)} . \quad
Passo 1
O enunciado pede: determinar a transformada inversa de Laplace da função
Y(s)=\frac{3}{(s-1)\left(s^{2}+4\right)}.
Informações dadas: a expressão de Y(s) está totalmente especificada e devemos encontrar y(t)=\mathcal{L}^{-1}\{Y(s)\}. Não há outras condições iniciais fornecidas e assumimos as condições usuais para a transformada de Laplace (funções de classe exponencial, t\ge0).
Passo 2
Estratégia escolhida (explicação didática): vamos usar decomposição em frações parciais para escrever Y(s) como soma de termos cujas transformadas inversas são tabeladas. A decomposição em frações parciais consiste em escrever
onde A,B,C são constantes a determinar. Isso é útil porque conhecemos transformadas inversas simples: \mathcal{L}^{-1}\{1/(s-a)\}=e^{at}, \mathcal{L}^{-1}\{s/(s^{2}+b^{2})\}=\cos(bt) e \mathcal{L}^{-1}\{b/(s^{2}+b^{2})\}=\sin(bt). Vou explicar cada passo para que você consiga reproduzir na prova.
Passo 3
Montamos a igualdade da decomposição e multiplicamos ambos os lados por (s-1)(s^{2}+4) para eliminar denominadores:
3 = A(s^{2}+4) + (Bs+C)(s-1).
Agora vamos expandir o lado direito e igualar coeficientes de potências de s.
No nosso caso a=1 e b=2 porque s^{2}+4=s^{2}+2^{2}. Para a última fração temos \dfrac{1}{s^{2}+4}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{s^{2}+2^{2}}, então \mathcal{L}^{-1}\{1/(s^{2}+4)\}=\dfrac{1}{2}\sin(2t).
Passo 7
Aplicando as transformadas inversas termo a termo (linearidade):