Seja \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)\). Determine a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções: \(f(t)= \begin{cases}0, & 0 \leq t<\frac{\pi}{2} \\\ \cos t, & t \geq \frac{\pi}{2}\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(t)= \begin{cases}0, & 0 \leq t<\dfrac{\pi}{2}, \\[4pt] \cos t, & t \geq \dfrac{\pi}{2},\end{cases}
e pede para determinar a transformada de Laplace \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s).
Informações relevantes que temos:
\;f(t)=0 para 0\le t<\dfrac{\pi}{2}.
\;f(t)=\cos t para t\ge\dfrac{\pi}{2}.
Defina a=\dfrac{\pi}{2} (constante onde a função “liga”). A missão é calcular
F(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt.]

Passo 2

É útil escrever f(t)\) usando a função de degrau de Heaviside \(u(t-a)\), que é definida por \[u(t-a)=\begin{cases}0,&t<a,\\[4pt]1,&t\ge a.\end{cases}
Como f(t)=0\] para \(t<a e f(t)=\cos t para t\ge a, podemos escrever
f(t)=u(t-a)\cos t,
onde lembramos que a=\dfrac{\pi}{2}. A vantagem é que existe um teorema de deslocamento no tempo que facilita a transformada.]

Passo 3

Vamos lembrar o teorema de deslocamento (time-shift) em uma forma útil: se g(t) é uma função com transformada G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\}, então
\mathcal{L}\{u(t-a)\,g(t-a)\}=e^{-a s}G(s).
Aqui é importante observar que o teorema dá uma forma com g(t-a) multiplicado pelo degrau. No nosso caso temos u(t-a)\cos t, que não está imediatamente na forma u(t-a)g(t-a). Então precisamos reescrever \cos t em termos de funções de (t-a).

Passo 4

Use a identidade trigonométrica de adição para escrever \cos t como função de (t-a):
\cos t=\cos\big((t-a)+a\big)=\cos(t-a)\cos a-\sin(t-a)\sin a.
Portanto
f(t)=u(t-a)\cos t=u(t-a)\big(\cos a\cos(t-a)-\sin a\sin(t-a)\big).
Pela linearidade da transformada de Laplace,
F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}=\cos a\,\mathcal{L}\{u(t-a)\cos(t-a)\}-\sin a\,\mathcal{L}\{u(t-a)\sin(t-a)\}.

Passo 5

Agora aplicamos o teorema de deslocamento a cada termo: para g(t)=\cos t e g(t)=\sin t temos
\mathcal{L}\{u(t-a)\cos(t-a)\}=e^{-a s}\mathcal{L}\{\cos t\}, \qquad \mathcal{L}\{u(t-a)\sin(t-a)\}=e^{-a s}\mathcal{L}\{\sin t\}.
As transformadas padrão são (vou lembrar como aparecem e o significado de cada símbolo):
\mathcal{L}\{\cos t\}=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\cos t\,dt=\frac{s}{s^{2}+1}, \qquad \mathcal{L}\{\sin t\}=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\sin t\,dt=\frac{1}{s^{2}+1},
onde s é a variável complexa da transformada (normalmente assumimos \Re(s)>0 para convergência). Essas fórmulas são resultados clássicos que aparecem ao integrar por partes ou usando a representação exponencial e^{it}.

Passo 6

Substituindo as transformadas conhecidas no passo anterior:
F(s)=\cos a\; e^{-a s}\frac{s}{s^{2}+1}-\sin a\; e^{-a s}\frac{1}{s^{2}+1}.
Fatorando e^{-a s}/(s^{2}+1) obtemos
F(s)=e^{-a s}\,\frac{s\cos a-\sin a}{s^{2}+1}.

Passo 7

Agora substituímos a=\dfrac{\pi}{2}. Sabemos que \cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0 e \sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1. Portanto o numerador fica s\cdot 0-1=-1. Assim
F(s)=e^{-\frac{\pi}{2}s}\,\frac{-1}{s^{2}+1}=-\frac{e^{-\frac{\pi}{2}s}}{s^{2}+1}.
Se quiser, pode verificar por integração direta:
F(s)=\int_{\pi/2}^{\infty} e^{-st}\cos t\,dt,
fazer a mudança u=t-\pi/2 e obter exatamente a mesma expressão e^{-a s}(s\cos a-\sin a)/(s^2+1).

Resposta

-\dfrac{e^{-\frac{\pi}{2}s}}{s^{2}+1}

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