Seja \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)\). Determine a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções:
\(f(t)= \begin{cases}0, & 0 \leq t<\frac{\pi}{2} \\\ \cos t, & t \geq \frac{\pi}{2}\end{cases}
e pede para determinar a transformada de Laplace \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s).
Informações relevantes que temos: \;f(t)=0 para 0\le t<\dfrac{\pi}{2}. \;f(t)=\cos t para t\ge\dfrac{\pi}{2}.
Defina a=\dfrac{\pi}{2} (constante onde a função “liga”). A missão é calcular
F(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt.]
Passo 2
É útil escrever f(t)\) usando a função de degrau de Heaviside \(u(t-a)\), que é definida por
\[u(t-a)=\begin{cases}0,&t<a,\\[4pt]1,&t\ge a.\end{cases}
Como f(t)=0\] para \(t<a e f(t)=\cos t para t\ge a, podemos escrever
f(t)=u(t-a)\cos t,
onde lembramos que a=\dfrac{\pi}{2}. A vantagem é que existe um teorema de deslocamento no tempo que facilita a transformada.]
Passo 3
Vamos lembrar o teorema de deslocamento (time-shift) em uma forma útil: se g(t) é uma função com transformada G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\}, então
\mathcal{L}\{u(t-a)\,g(t-a)\}=e^{-a s}G(s).
Aqui é importante observar que o teorema dá uma forma com g(t-a) multiplicado pelo degrau. No nosso caso temos u(t-a)\cos t, que não está imediatamente na forma u(t-a)g(t-a). Então precisamos reescrever \cos t em termos de funções de (t-a).
Passo 4
Use a identidade trigonométrica de adição para escrever \cos t como função de (t-a):
\cos t=\cos\big((t-a)+a\big)=\cos(t-a)\cos a-\sin(t-a)\sin a.
onde s é a variável complexa da transformada (normalmente assumimos \Re(s)>0 para convergência). Essas fórmulas são resultados clássicos que aparecem ao integrar por partes ou usando a representação exponencial e^{it}.
Passo 6
Substituindo as transformadas conhecidas no passo anterior:
Agora substituímos a=\dfrac{\pi}{2}. Sabemos que \cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0 e \sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1. Portanto o numerador fica s\cdot 0-1=-1. Assim