Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
y^{\prime \prime}+4 y=\sin t \mathcal{U}(t-2 \pi), y(0)=1, y^{\prime}(0)=0.

Passo 1

O enunciado pede resolver o problema de valor inicial
y''+4y=\sin t\,\mathcal{U}(t-2\pi),\qquad y(0)=1,\qquad y'(0)=0.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A equação é linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • \mathcal{U}(t-2\pi) é a função degrau unitário deslocada: vale 0 para t<2\pi e 1 para t\ge2\pi.
  • Logo, o termo forçante é 0 quando 0\le t<2\pi e é \sin t quando t\ge2\pi.
  • Precisamos de uma solução válida para todo t\ge0 que satisfaça as condições iniciais e a continuidade adequada em t=2\pi.

Passo 2

Resolver para 0\le t<2\pi (onde o lado direito é 0). A equação torna-se homogênea:
y''+4y=0.
Para resolver, fazemos a equação característica:
r^2+4=0 \implies r=\pm 2i.
Portanto a solução geral da homogênea é
y(t)=A\cos(2t)+B\sin(2t),
onde A e B são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 3

Aplicar as condições iniciais em t=0 para determinar A e B.
Primeiro escrevemos y e y':
y(0)=A\cos0+B\sin0 = A,
y'(t)=-2A\sin(2t)+2B\cos(2t) \implies y'(0)=2B.
Usando y(0)=1 e y'(0)=0 obtemos
A=1,\qquad 2B=0 \implies B=0.
Logo, para 0\le t<2\pi,
y(t)=\cos(2t).

Passo 4

Avaliar os valores da solução e da derivada em t=2\pi (lado esquerdo) para usar como condições em t=2\pi:
y(2\pi^-)=\cos(4\pi)=1,
y'(t)=-2\sin(2t)\implies y'(2\pi^-)= -2\sin(4\pi)=0.
Esses serão os valores iniciais para a solução no ramo t\ge2\pi (continuidade exige que y e y' sejam iguais dos dois lados quando o forçante não contém delta).

Passo 5

Resolver para t\ge2\pi onde o lado direito é \sin t. A equação é
y''+4y=\sin t.
A solução geral é soma da homogênea com uma particular:
y(t)=C\cos(2t)+D\sin(2t)+y_p(t).
Usamos o método dos coeficientes indeterminados para achar y_p. Proponha
y_p(t)=a\sin t + b\cos t.
Calcule derivadas:
y_p'(t)=a\cos t - b\sin t,
y_p''(t)=-a\sin t - b\cos t.
Substituindo em y_p''+4y_p=\sin t
(-a\sin t - b\cos t) + 4(a\sin t + b\cos t) = (3a)\sin t + (3b)\cos t = \sin t.
Comparando coeficientes obtemos
3a=1 \implies a=\tfrac{1}{3},\qquad 3b=0 \implies b=0.
Portanto
y_p(t)=\tfrac{1}{3}\sin t.
Assim a solução geral para t\ge2\pi é
y(t)=C\cos(2t)+D\sin(2t)+\tfrac{1}{3}\sin t.

Passo 6

Determinar C e D impondo continuidade de y e y' em t=2\pi usando os valores calculados no Passo 4:
Primeiro y(2\pi)=1:
y(2\pi)=C\cos(4\pi)+D\sin(4\pi)+\tfrac{1}{3}\sin(2\pi)=C\cdot1 + D\cdot0 + \tfrac{1}{3}\cdot 0 = C.
Logo C=1.
Agora y'(t)=-2C\sin(2t)+2D\cos(2t)+\tfrac{1}{3}\cos t. Em t=2\pi deve valer 0:
y'(2\pi)=-2C\sin(4\pi)+2D\cos(4\pi)+\tfrac{1}{3}\cos(2\pi)= -2C\cdot0 + 2D\cdot1 + \tfrac{1}{3}\cdot1 = 2D + \tfrac{1}{3}.
Igualando a zero:
2D+\tfrac{1}{3}=0 \implies D=-\tfrac{1}{6}.

Passo 7

Escrever a solução completa, em partes (peça por peça):
  • Para 0\le t<2\pi:
y(t)=\cos(2t).
  • Para t\ge2\pi:
y(t)=\cos(2t) - \tfrac{1}{6}\sin(2t) + \tfrac{1}{3}\sin t.
Podemos checar rapidamente que em t=2\pi essas duas expressões coincidem em valor e derivada (já usado para obter C e D), garantindo solução C^1.

Resposta

y(t)=\cos(2t),\quad 0\le t<2\pi
y(t)=\cos(2t)-\tfrac{1}{6}\sin(2t)+\tfrac{1}{3}\sin t,\quad t\ge2\pi

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