Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
.
Passo 1
O enunciado pede resolver o problema de valor inicial
Informações dadas e observações iniciais:
- A equação é linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
-
é a função degrau unitário deslocada: vale para e para . - Logo, o termo forçante é
quando e é quando . - Precisamos de uma solução válida para todo
que satisfaça as condições iniciais e a continuidade adequada em .
Passo 2
Resolver para
(onde o lado direito é
). A equação torna-se homogênea:
Para resolver, fazemos a equação característica:
Portanto a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 3
Aplicar as condições iniciais em
para determinar
e
.
Primeiro escrevemos e
:
Primeiro escrevemos
Usando
e
obtemos
Logo, para
,
Passo 4
Avaliar os valores da solução e da derivada em
(lado esquerdo) para usar como condições em
:
Esses serão os valores iniciais para a solução no ramo
(continuidade exige que
e
sejam iguais dos dois lados quando o forçante não contém delta).
Passo 5
Resolver para
onde o lado direito é
. A equação é
A solução geral é soma da homogênea com uma particular:
Usamos o método dos coeficientes indeterminados para achar
. Proponha
Calcule derivadas:
Substituindo em
dá
Comparando coeficientes obtemos
Portanto
Assim a solução geral para
é
Passo 6
Determinar
e
impondo continuidade de
e
em
usando os valores calculados no Passo 4:
Primeiro :
Primeiro
Logo
.
Agora
. Em
deve valer
:
Igualando a zero:
Passo 7
Escrever a solução completa, em partes (peça por peça):
- Para
:
- Para
:
Podemos checar rapidamente que em
essas duas expressões coincidem em valor e derivada (já usado para obter
e
), garantindo solução
.