Sea la función
. Se puede afirmar que f está acotada en el intervalo
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar a função $ f(x) = \frac{x^{2} + 4x - 2}{x^{2} - 2x + 1} $ e determinar se ela está acotada no intervalo
. Isso significa que precisamos verificar se os valores de $ f(x) $ ficam dentro de algum limite específico quando $ x $ varia de 1 a 4. Para resolver isso, vamos precisar entender termos como “função acotada” e analisar o comportamento da função no intervalo dado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função estar acotada em um intervalo. Uma função está acotada em um intervalo se existe um número $ M $ tal que, para todo $ x $ no intervalo, o valor absoluto de $ f(x) $ é menor ou igual a $ M $. Em outras palavras, os valores da função não “escapam” para infinito, ficam dentro de um limite.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função $ f(x) = \frac{x^{2} + 4x - 2}{x^{2} - 2x + 1} $. O denominador dessa função é $ x^{2} - 2x + 1 $, que podemos fatorar como $ (x - 1)^{2} $. Isso significa que quando $ x = 1 $, o denominador se torna zero, o que faz com que a função fique indefinida nesse ponto.
Passo 4
Como o intervalo que estamos analisando é
, o valor $ x = 1 $ está incluído nesse intervalo. Quando analisamos o comportamento da função perto de $ x = 1 $, vemos que o denominador está se aproximando de zero, o que faz com que $ f(x) $ cresça sem limites, ou seja, tende ao infinito.
Passo 5
Devido a essa tendência da função de subir para o infinito perto de $ x = 1 $, concluímos que não existe um limite $ M $ que possa “segurar” os valores de $ f(x) $ dentro de
. Portanto, a função não está acotada nesse intervalo.
Resposta
Não, a função $ f(x) $ não está acotada no intervalo
.