Demostrar que existe al menos un número real
tal que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que existe pelo menos um número real $ x $ tal que $ \sin(x) = x $. Isso envolve conceitos de funções contínuas e o Teorema do Valor Intermediário. Vamos precisar entender um pouco sobre essas ideias para resolver o problema.
Passo 2
Primeiro, vamos definir uma função que nos ajude a encontrar esse $ x $. Vamos chamar de $ f(x) = \sin(x) - x $. Nosso objetivo é encontrar um valor de $ x $ onde $ f(x) = 0 $, ou seja, onde $ \sin(x) = x $.
Passo 3
Sabemos que a função seno, $ \sin(x) $, é contínua para todos os números reais. A função identidade, $ x $, também é contínua. Como a diferença de duas funções contínuas é contínua, $ f(x) = \sin(x) - x $ também é contínua.
Passo 4
Agora, vamos avaliar $ f(x) $ em dois pontos específicos para aplicar o Teorema do Valor Intermediário. Vamos escolher $ x = 0 $ e $ x = 1 $:
- Para $ x = 0 $:
- Para $ x = 1 $:
Passo 5
Observamos que $ f(0) = 0 $ e $ f(1) \approx -0.1585 $. Como $ f(0) = 0 $, já encontramos que $ x = 0 $ satisfaz $ \sin(x) = x $. No entanto, para entender melhor, vamos ver se há algum outro ponto onde $ f(x) $ cruza o eixo $ x $.
Passo 6
Vamos escolher outro ponto, por exemplo, $ x = -1 $:
Aqui, $ f(-1) > 0 $ e $ f(1) < 0 $. Pelo Teorema do Valor Intermediário, como $ f(x) $ é contínua e muda de sinal entre $ x = -1 $ e $ x = 1 $, existe pelo menos um valor de $ x $ nesse intervalo onde $ f(x) = 0 $, ou seja, $ \sin(x) = x $.
Resposta
Então, mostramos que existe pelo menos um número real $ x $ tal que $ \sin(x) = x $. Especificamente, $ x = 0 $ satisfaz essa equação, e possivelmente há outros valores também.