Sean \mathbf{B}=\left(1, X^{2}, X\right) base de \mathbf{P}_{2} y \mathbf{B}^{\prime} base canónica de \mathbf{R}^{\mathbf{2} \times \mathbf{2}}.
Se pide:
a) Dar \mathbf{M}_{\mathbf{B}^{\prime}}^{\mathbf{B}}(\mathbf{F}) esto es, dar la matríz de \mathbf{F} respecto a las bases \mathbf{B} y \mathbf{B}^{\prime}.
b) Sabiendo que \mathbf{p}=6+2 X-3 X^{2}, utilizar la matríz \mathbf{M}_{\mathbf{B}^{\prime}}^{\mathbf{B}}(\mathbf{F}) para hallar [\mathbf{F}(\mathbf{p})]_{\mathbf{B}^{\prime}}.
Passo 1
Enunciado y lo que se pide: tenemos la aplicación lineal \mathbf{F}:\mathbf{P}_{2}\to\mathbf{R}^{2\times2} dada por
\mathbf{F}\big(a+bX+cX^{2}\big)=\begin{pmatrix}a+b & a-c \\\ b & 2a\end{pmatrix}.
Las bases dadas son \mathbf{B}=(1,\,X^{2},\,X) para \mathbf{P}_{2} (observa el orden: primero 1, luego X^{2}, luego X) y \mathbf{B}' la base canónica de \mathbf{R}^{2\times2}.\n
Se piden dos cosas:
a) Dar la matriz \mathbf{M}_{\mathbf{B}'}^{\mathbf{B}}(\mathbf{F}) (la matriz de \mathbf{F} respecto a \mathbf{B} en el dominio y \mathbf{B}' en el codominio).\n
b) Dado \mathbf{p}=6+2X-3X^{2}, usar la matriz anterior para hallar [\mathbf{F}(\mathbf{p})]_{\mathbf{B}'} (el vector de coordenadas de \mathbf{F}(\mathbf{p}) respecto a \mathbf{B}').
Passo 2
Qué significa escribir la matriz de \mathbf{F} respecto a \mathbf{B} y \mathbf{B}':\n
La base canónica \mathbf{B}' de \mathbf{R}^{2\times2} la tomo en el orden habitual
Regla práctica para construir \mathbf{M}_{\mathbf{B}'}^{\mathbf{B}}(\mathbf{F}): aplicar \mathbf{F} a cada vector de la base \mathbf{B} (en el orden dado) y escribir las coordenadas de cada \mathbf{F}(\text{vector de }\mathbf{B}) respecto a \mathbf{B}'. Esas coordenadas forman las columnas de la matriz (primera columna corresponde a \mathbf{F}(1), segunda a \mathbf{F}(X^{2}), tercera a \mathbf{F}(X)).]
Passo 3
Calcular \mathbf{F}(1). Tomo los coeficientes a=1,\;b=0,\;c=0 (porque 1=1+0X+0X^{2}). Aplicando la fórmula:
Armar la matriz \mathbf{M}_{\mathbf{B}'}^{\mathbf{B}}(\mathbf{F}): pongo las coordenadas calculadas como columnas en el orden de la base \mathbf{B}=(1,\,X^{2},\,X). Así la matriz (de tamaño 4\times3) es
donde las filas corresponden a las coordenadas frente a E_{11},E_{12},E_{21},E_{22} respectivamente.]
Passo 10
Preparar la segunda parte: necesitamos [\mathbf{F}(\mathbf{p})]_{\mathbf{B}'} usando la matriz. Para eso obtengo primero el vector de coordenadas de \mathbf{p} respecto a \mathbf{B}.
Passo 11
Escribir \mathbf{p}=6+2X-3X^{2} en las coordenadas según \mathbf{B}=(1,\,X^{2},\,X). El orden de \mathbf{B} es importante: coeficiente de 1 (primera posición) es 6, coeficiente de X^{2} (segunda posición) es -3, coeficiente de X (tercera posición) es 2. Entonces
Si queremos interpretar este vector como matriz (comprobación o para entender el resultado): las entradas corresponden a los coeficientes de E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}, así que