Sea \mathbf{F}: \mathbf{P}_{2} \rightarrow \mathbf{R}^{2 \times 2} aplicación lineal definida por \mathbf{F}\left(a+b X+c X^{2}\right)=\left[\begin{array}{cc}a+b & a-c \\\ b & 2 a\end{array}\right].
Sean \mathbf{B}=\left(1, X^{2}, X\right) base de \mathbf{P}_{2} y \mathbf{B}^{\prime} base canónica de \mathbf{R}^{\mathbf{2} \times \mathbf{2}}.
Se pide:
a) Dar \mathbf{M}_{\mathbf{B}^{\prime}}^{\mathbf{B}}(\mathbf{F}) esto es, dar la matríz de \mathbf{F} respecto a las bases \mathbf{B} y \mathbf{B}^{\prime}.
b) Sabiendo que \mathbf{p}=6+2 X-3 X^{2}, utilizar la matríz \mathbf{M}_{\mathbf{B}^{\prime}}^{\mathbf{B}}(\mathbf{F}) para hallar [\mathbf{F}(\mathbf{p})]_{\mathbf{B}^{\prime}}.

Passo 1

Enunciado y lo que se pide: tenemos la aplicación lineal \mathbf{F}:\mathbf{P}_{2}\to\mathbf{R}^{2\times2} dada por
\mathbf{F}\big(a+bX+cX^{2}\big)=\begin{pmatrix}a+b & a-c \\\ b & 2a\end{pmatrix}.
Las bases dadas son \mathbf{B}=(1,\,X^{2},\,X) para \mathbf{P}_{2} (observa el orden: primero 1, luego X^{2}, luego X) y \mathbf{B}' la base canónica de \mathbf{R}^{2\times2}.\n
Se piden dos cosas:
a) Dar la matriz \mathbf{M}_{\mathbf{B}'}^{\mathbf{B}}(\mathbf{F}) (la matriz de \mathbf{F} respecto a \mathbf{B} en el dominio y \mathbf{B}' en el codominio).\n
b) Dado \mathbf{p}=6+2X-3X^{2}, usar la matriz anterior para hallar [\mathbf{F}(\mathbf{p})]_{\mathbf{B}'} (el vector de coordenadas de \mathbf{F}(\mathbf{p}) respecto a \mathbf{B}').

Passo 2

Qué significa escribir la matriz de \mathbf{F} respecto a \mathbf{B} y \mathbf{B}':\n
  • La base canónica \mathbf{B}' de \mathbf{R}^{2\times2} la tomo en el orden habitual
\mathbf{B}'=(E_{11},\,E_{12},\,E_{21},\,E_{22}),
donde
E_{11}=\begin{pmatrix}1&0\\[2pt]0&0\end{pmatrix},\; E_{12}=\begin{pmatrix}0&1\\[2pt]0&0\end{pmatrix},\; E_{21}=\begin{pmatrix}0&0\\[2pt]1&0\end{pmatrix},\; E_{22}=\begin{pmatrix}0&0\\[2pt]0&1\end{pmatrix}.
  • Regla práctica para construir \mathbf{M}_{\mathbf{B}'}^{\mathbf{B}}(\mathbf{F}): aplicar \mathbf{F} a cada vector de la base \mathbf{B} (en el orden dado) y escribir las coordenadas de cada \mathbf{F}(\text{vector de }\mathbf{B}) respecto a \mathbf{B}'. Esas coordenadas forman las columnas de la matriz (primera columna corresponde a \mathbf{F}(1), segunda a \mathbf{F}(X^{2}), tercera a \mathbf{F}(X)).]

Passo 3

Calcular \mathbf{F}(1). Tomo los coeficientes a=1,\;b=0,\;c=0 (porque 1=1+0X+0X^{2}). Aplicando la fórmula:
\mathbf{F}(1)=\begin{pmatrix}a+b & a-c \\\ b & 2a\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1+0 & 1-0 \\\\ 0 & 2\cdot1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 1 \\\\ 0 & 2\end{pmatrix}.

Passo 4

Expresar \mathbf{F}(1) en coordenadas respecto a \mathbf{B}'. Comparo con la combinación de las matrices E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}:
\begin{pmatrix}1 & 1 \\\\ 0 & 2\end{pmatrix} =1\cdot E_{11} + 1\cdot E_{12} + 0\cdot E_{21} + 2\cdot E_{22}.
Por tanto el vector de coordenadas (columna) es
[\mathbf{F}(1)]_{\mathbf{B}'}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]0\\[4pt]2\end{pmatrix}.]

Passo 5

Calcular \mathbf{F}(X^{2}). Para X^{2} tenemos a=0,\;b=0,\;c=1. Aplicando la fórmula:
\mathbf{F}(X^{2})=\begin{pmatrix}0+0 & 0-1 \\\\ 0 & 2\cdot0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & -1 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix}.

Passo 6

Expresar \mathbf{F}(X^{2}) en coordenadas respecto a \mathbf{B}':
\begin{pmatrix}0 & -1 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix} =0\cdot E_{11} + (-1)\cdot E_{12} + 0\cdot E_{21} + 0\cdot E_{22},
de modo que
[\mathbf{F}(X^{2})]_{\mathbf{B}'}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]-1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 7

Calcular \mathbf{F}(X). Para X tenemos a=0,\;b=1,\;c=0. Aplicando la fórmula:
\mathbf{F}(X)=\begin{pmatrix}0+1 & 0-0 \\\\ 1 & 2\cdot0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 1 & 0\end{pmatrix}.

Passo 8

Expresar \mathbf{F}(X) en coordenadas respecto a \mathbf{B}':
\begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 1 & 0\end{pmatrix} =1\cdot E_{11} + 0\cdot E_{12} + 1\cdot E_{21} + 0\cdot E_{22},
luego
[\mathbf{F}(X)]_{\mathbf{B}'}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 9

Armar la matriz \mathbf{M}_{\mathbf{B}'}^{\mathbf{B}}(\mathbf{F}): pongo las coordenadas calculadas como columnas en el orden de la base \mathbf{B}=(1,\,X^{2},\,X). Así la matriz (de tamaño 4\times3) es
\mathbf{M}_{\mathbf{B}'}^{\mathbf{B}}(\mathbf{F}) =\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\[4pt] 1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1\\[4pt] 2 & 0 & 0 \end{pmatrix},
donde las filas corresponden a las coordenadas frente a E_{11},E_{12},E_{21},E_{22} respectivamente.]

Passo 10

Preparar la segunda parte: necesitamos [\mathbf{F}(\mathbf{p})]_{\mathbf{B}'} usando la matriz. Para eso obtengo primero el vector de coordenadas de \mathbf{p} respecto a \mathbf{B}.

Passo 11

Escribir \mathbf{p}=6+2X-3X^{2} en las coordenadas según \mathbf{B}=(1,\,X^{2},\,X). El orden de \mathbf{B} es importante: coeficiente de 1 (primera posición) es 6, coeficiente de X^{2} (segunda posición) es -3, coeficiente de X (tercera posición) es 2. Entonces
[\mathbf{p}]_{\mathbf{B}}=\begin{pmatrix}6\\[4pt]-3\\[4pt]2\end{pmatrix}.]

Passo 12

Aplicar la matriz a [\mathbf{p}]_{\mathbf{B}}. Hacemos la multiplicación paso a paso (o pensar como combinación lineal de columnas):
[\mathbf{F}(\mathbf{p})]_{\mathbf{B}'} =\mathbf{M}_{\mathbf{B}'}^{\mathbf{B}}(\mathbf{F})\;[\mathbf{p}]_{\mathbf{B}} =\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\[4pt] 1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1\\[4pt] 2 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}6\\[4pt]-3\\[4pt]2\end{pmatrix}.
Calculo columna por columna (o elemento a elemento):
  • Primera entrada: 1\cdot6 + 0\cdot(-3) + 1\cdot2 = 6 + 0 + 2 = 8.
  • Segunda entrada: 1\cdot6 + (-1)\cdot(-3) + 0\cdot2 = 6 + 3 + 0 = 9.
  • Tercera entrada: 0\cdot6 + 0\cdot(-3) + 1\cdot2 = 2.
  • Cuarta entrada: 2\cdot6 + 0\cdot(-3) + 0\cdot2 = 12.
Por tanto
[\mathbf{F}(\mathbf{p})]_{\mathbf{B}'}=\begin{pmatrix}8\\[4pt]9\\[4pt]2\\[4pt]12\end{pmatrix}.]

Passo 13

Si queremos interpretar este vector como matriz (comprobación o para entender el resultado): las entradas corresponden a los coeficientes de E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}, así que
\mathbf{F}(\mathbf{p})=8\cdot E_{11} + 9\cdot E_{12} + 2\cdot E_{21} + 12\cdot E_{22} =\begin{pmatrix}8 & 9 \\\\ 2 & 12\end{pmatrix},
lo cual coincide si aplicamos directamente la fórmula con a=6,\;b=2,\;c=-3.

Resposta

\mathbf{M}_{\mathbf{B}'}^{\mathbf{B}}(\mathbf{F}) =\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\[4pt] 1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1\\[4pt] 2 & 0 & 0 \end{pmatrix}
[\mathbf{F}(\mathbf{p})]_{\mathbf{B}'}=\begin{pmatrix}8\\[4pt]9\\[4pt]2\\[4pt]12\end{pmatrix}]

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