(SEARS 15.81) Um anel de aço cujo diâmetro interno a
é de
deve ser aquecido para se encaixar em um eixo de latão com diâmetro externo igual a
a
. Dados:
e
.
(a) Até que temperatura o anel deve ser aquecido?
(b) Se o anel e o eixo forem aquecidos simultaneamente por algum refrigerante tal como o ar líquido, em que temperatura o anel começa a deslizar para fora do eixo?
(a) Até que temperatura o anel deve ser aquecido?
(b) Se o anel e o eixo forem aquecidos simultaneamente por algum refrigerante tal como o ar líquido, em que temperatura o anel começa a deslizar para fora do eixo?
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas. Vou listar claramente o que sabemos e o que é pedido.
- Diâmetro interno do anel de aço à temperatura inicial
: . - Diâmetro externo do eixo de latão à temperatura inicial
: . - Coeficiente de dilatação linear do aço:
. - Coeficiente de dilatação linear do latão:
.
Perguntas:
(a) Se o eixo ficar a e apenas o anel for aquecido, até que temperatura
o anel deve ser aquecido para que seu diâmetro interno alcance
(ou seja, para que o anel possa encaixar no eixo)?
(a) Se o eixo ficar a
(b) Se o anel e o eixo forem aquecidos/resfriados simultaneamente pela mesma variação de temperatura (ou seja, ambos mudam de temperatura ao mesmo tempo), em que temperatura
o anel começa a deslizar para fora do eixo? (Isto significa encontrar
tal que o diâmetro interno do anel iguale o diâmetro externo do eixo quando ambos têm a mesma temperatura.)
Passo 2
Conceito e fórmula que vou usar (aula rápida e simples).
- Quando um corpo sofre variação de temperatura
, seu comprimento linear (ou diâmetro) varia proporcionalmente segundo a fórmula da dilatação linear:
onde
é o comprimento (ou diâmetro) à temperatura inicial
,
é o coeficiente de dilatação linear e
.
- Aqui usamos a mesma fórmula com
sendo diâmetros. Todas as variáveis nas equações abaixo estarão com medido a partir de , ou seja .
Vou aplicar essa fórmula ao diâmetro interno do anel e ao diâmetro externo do eixo conforme os casos pedidos.
Passo 3
Resolução da parte (a): só o anel é aquecido; o eixo permanece a
.
- Diâmetro do anel à temperatura
:
- Desejamos que
(porque o eixo está a e seu diâmetro é ).
Escrevo a equação e resolvo para
:
Isolando
:
Agora substituo os números (todos em centímetros e graus Celsius):
Calculo a divisão:
Portanto
Interpretação: o anel precisa ser aquecido para cerca de
para que seu diâmetro interno cresça de
para
.
Passo 4
Resolução da parte (b): agora o anel e o eixo sofrem a mesma variação de temperatura (ambos ficam à mesma temperatura
). Pergunta: para que temperatura
o diâmetro interno do anel iguala o diâmetro externo do eixo?
- Use as fórmulas de dilatação para ambos:
Queremos
. Então:
Faço a álgebra para isolar
. Expando e coleto termos com
:
Agora substituo os valores numéricos:
Calculo os produtos:
A diferença no denominador:
O numerador:
Logo
Interpretação física: o sinal negativo de
significa que é necessário resfriar o conjunto (baixar a temperatura) para que o anel se solte do eixo (o latão encolhe mais que o aço por grau porque
). Assim o anel começará a deslizar para fora quando a temperatura comum cair até aproximadamente
. Observação: esse valor está na faixa de temperaturas muito frias, e líquidos criogênicos (por exemplo ar líquido) alcançam temperaturas ainda menores, então em prática um resfriamento por ar líquido faria o anel deslizar.
Passo 5
Checagem rápida de ordem de grandeza (bom para a prova): na parte (a) a diferença de diâmetros é
. Cada grau faz o diâmetro do aço crescer aproximadamente
por grau. Para compensar
precisa de cerca de
, consistente com o cálculo. Na parte (b) como o latão encolhe mais por grau que o aço, a diferença efetiva por grau (aço menos latão) é
, então para reduzir a diferença de
até zero precisa de cerca de
de resfriamento — ou seja, cair de
para cerca de
, novamente consistente.
Resposta
(a)
(b)
(b)