(SEARS 15.81) Um anel de aço cujo diâmetro interno a 20^{\circ} \mathrm{C} é de 6,3500 \mathrm{~cm} deve ser aquecido para se encaixar em um eixo de latão com diâmetro externo igual a 6,3551 \mathrm{~cm} a 20^{\circ} C. Dados: \alpha_{a}=1,2 \times 10^{-5}{ }^{\circ} C^{-1} e \alpha_{L}=2,0 \times 10^{-5}{ }^{\circ} C^{-1}.
(a) Até que temperatura o anel deve ser aquecido?
(b) Se o anel e o eixo forem aquecidos simultaneamente por algum refrigerante tal como o ar líquido, em que temperatura o anel começa a deslizar para fora do eixo?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas. Vou listar claramente o que sabemos e o que é pedido.
  • Diâmetro interno do anel de aço à temperatura inicial 20^\circ\mathrm{C}: \,d_{a0}=6{,}3500\\ \mathrm{cm}.
  • Diâmetro externo do eixo de latão à temperatura inicial 20^\circ\mathrm{C}: \,d_{L0}=6{,}3551\\ \mathrm{cm}.
  • Coeficiente de dilatação linear do aço: \,\alpha_{a}=1{,}2\times10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
  • Coeficiente de dilatação linear do latão: \,\alpha_{L}=2{,}0\times10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
Perguntas:
(a) Se o eixo ficar a 20^\circ\mathrm{C} e apenas o anel for aquecido, até que temperatura T o anel deve ser aquecido para que seu diâmetro interno alcance \,6{,}3551\\ \mathrm{cm} (ou seja, para que o anel possa encaixar no eixo)?
(b) Se o anel e o eixo forem aquecidos/resfriados simultaneamente pela mesma variação de temperatura (ou seja, ambos mudam de temperatura ao mesmo tempo), em que temperatura T o anel começa a deslizar para fora do eixo? (Isto significa encontrar T tal que o diâmetro interno do anel iguale o diâmetro externo do eixo quando ambos têm a mesma temperatura.)

Passo 2

Conceito e fórmula que vou usar (aula rápida e simples).
  • Quando um corpo sofre variação de temperatura \Delta T, seu comprimento linear (ou diâmetro) varia proporcionalmente segundo a fórmula da dilatação linear:
L(T)=L_{0}\bigl(1+\alpha\,\Delta T\bigr),
onde \,L_{0} é o comprimento (ou diâmetro) à temperatura inicial T_{0}, \alpha é o coeficiente de dilatação linear e \Delta T=T-T_{0}.
  • Aqui usamos a mesma fórmula com L sendo diâmetros. Todas as variáveis nas equações abaixo estarão com \Delta T medido a partir de T_{0}=20^\circ\mathrm{C}, ou seja \Delta T=T-20^\circ\mathrm{C}.
Vou aplicar essa fórmula ao diâmetro interno do anel e ao diâmetro externo do eixo conforme os casos pedidos.

Passo 3

Resolução da parte (a): só o anel é aquecido; o eixo permanece a 20^\circ\mathrm{C}.
  • Diâmetro do anel à temperatura T:
d_a(T)=d_{a0}\bigl(1+\alpha_a (T-20)\bigr).
  • Desejamos que d_a(T)=d_{L0} (porque o eixo está a 20^\circ\mathrm{C} e seu diâmetro é \,d_{L0}).
Escrevo a equação e resolvo para T:
d_{a0}\bigl(1+\alpha_a (T-20)\bigr)=d_{L0}.
Isolando T:
1+\alpha_a (T-20)=\frac{d_{L0}}{d_{a0}},
\alpha_a (T-20)=\frac{d_{L0}}{d_{a0}}-1,
T-20=\frac{\dfrac{d_{L0}}{d_{a0}}-1}{\alpha_a},
T=20+\frac{\dfrac{d_{L0}}{d_{a0}}-1}{\alpha_a}.
Agora substituo os números (todos em centímetros e graus Celsius):
\frac{d_{L0}}{d_{a0}}=\frac{6{,}3551}{6{,}3500}=1+\frac{0{,}0051}{6{,}3500}\approx 1{,}00080315.
\frac{d_{L0}}{d_{a0}}-1\approx 0{,}00080315.
T=20+\frac{0{,}00080315}{1{,}2\times10^{-5}}.
Calculo a divisão:
\frac{0{,}00080315}{1{,}2\times10^{-5}}\approx 66{,}929.
Portanto
T\approx 20+66{,}929\approx 86{,}93^\circ\mathrm{C}.
Interpretação: o anel precisa ser aquecido para cerca de 86{,}9^\circ\mathrm{C} para que seu diâmetro interno cresça de 6{,}3500 para 6{,}3551\\ \mathrm{cm}.

Passo 4

Resolução da parte (b): agora o anel e o eixo sofrem a mesma variação de temperatura (ambos ficam à mesma temperatura T). Pergunta: para que temperatura T o diâmetro interno do anel iguala o diâmetro externo do eixo?
  • Use as fórmulas de dilatação para ambos:
d_a(T)=d_{a0}\bigl(1+\alpha_a (T-20)\bigr), \qquad d_L(T)=d_{L0}\bigl(1+\alpha_L (T-20)\bigr).
Queremos d_a(T)=d_L(T). Então:
d_{a0}\bigl(1+\alpha_a (T-20)\bigr)=d_{L0}\bigl(1+\alpha_L (T-20)\bigr).
Faço a álgebra para isolar T. Expando e coleto termos com \Delta T=T-20:
d_{a0}+d_{a0}\alpha_a\Delta T = d_{L0}+d_{L0}\alpha_L\Delta T.
(d_{a0}\alpha_a - d_{L0}\alpha_L)\Delta T = d_{L0}-d_{a0}.
\Delta T = \frac{d_{L0}-d_{a0}}{d_{a0}\alpha_a - d_{L0}\alpha_L}.
T = 20 + \Delta T = 20 + \frac{d_{L0}-d_{a0}}{d_{a0}\alpha_a - d_{L0}\alpha_L}.
Agora substituo os valores numéricos:
Calculo os produtos:
d_{a0}\alpha_a = 6{,}3500\times 1{,}2\times10^{-5}=0{,}000076200,
d_{L0}\alpha_L = 6{,}3551\times 2{,}0\times10^{-5}=0{,}000127102.
A diferença no denominador:
d_{a0}\alpha_a - d_{L0}\alpha_L = 0{,}000076200 - 0{,}000127102 = -0{,}000050902.
O numerador:
d_{L0}-d_{a0}=6{,}3551-6{,}3500=0{,}0051.
Logo
\Delta T = \frac{0{,}0051}{-0{,}000050902}\approx -100{,}193,
T=20-100{,}193\approx -80{,}193^\circ\mathrm{C}.
Interpretação física: o sinal negativo de \Delta T significa que é necessário resfriar o conjunto (baixar a temperatura) para que o anel se solte do eixo (o latão encolhe mais que o aço por grau porque \alpha_L>\alpha_a). Assim o anel começará a deslizar para fora quando a temperatura comum cair até aproximadamente -80{,}2^\circ\mathrm{C}. Observação: esse valor está na faixa de temperaturas muito frias, e líquidos criogênicos (por exemplo ar líquido) alcançam temperaturas ainda menores, então em prática um resfriamento por ar líquido faria o anel deslizar.

Passo 5

Checagem rápida de ordem de grandeza (bom para a prova): na parte (a) a diferença de diâmetros é 0{,}0051\\ \mathrm{cm}. Cada grau faz o diâmetro do aço crescer aproximadamente d_{a0}\alpha_a\approx0{,}0000762\\ \mathrm{cm} por grau. Para compensar 0{,}0051\\ \mathrm{cm} precisa de cerca de 0{,}0051/0{,}0000762\approx67^\circ\mathrm{C}, consistente com o cálculo. Na parte (b) como o latão encolhe mais por grau que o aço, a diferença efetiva por grau (aço menos latão) é -0{,}0000509\\ \mathrm{cm}/^\circ\mathrm{C}, então para reduzir a diferença de +0{,}0051\\ \mathrm{cm} até zero precisa de cerca de 0{,}0051/0{,}0000509\approx100^\circ\mathrm{C} de resfriamento — ou seja, cair de 20^\circ\mathrm{C} para cerca de -80^\circ\mathrm{C}, novamente consistente.

Resposta

(a) T\approx86{,}9^\circ\mathrm{C}
(b) T\approx-80{,}2^\circ\mathrm{C}

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