Suponha que um sistema A seja colocado em contato térmico com um reservatório de calor A^{\prime} que está a uma temperatura absoluta T^{\prime} e que A absorve uma quantidade de calor Q nesse processo. Mostre que o aumento de entropia \Delta S de A neste processo satisfaz a desigualdade \Delta S \geqslant Q / T^{\prime}, onde o sinal de igualdade só é válido se a temperatura inicial de A difere infinitesimalmente da temperatura T^{\prime} de A^{\prime}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma desigualdade clara:
  • Um sistema A é posto em contato térmico com um reservatório A^{\prime} que tem temperatura absoluta constante T^{\prime}.
  • Durante o contato, o sistema A absorve uma quantidade de calor Q vinda do reservatório A^{\prime}.
  • Pergunta: mostrar que o aumento de entropia \Delta S de A satisfaz
\Delta S \geqslant \frac{Q}{T^{\prime}},
e explicar quando ocorre igualdade (isto é, em que condição a desigualdade vira igualdade).

Passo 2

O que é entropia e como se relaciona com calor: a entropia é uma função de estado que, para transformações reversíveis infinitesimais, satisfaz a definição
\mathrm{d}S=\frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T},
onde:
  • \mathrm{d}S é a variação infinitesimal de entropia do sistema,
  • \delta Q_{\text{rev}} é o calor trocado no processo se esse calor fosse transferido de modo reversível,
  • T é a temperatura do sistema (ou do reservatório em contato reversível) no instante da troca.
Explicando em palavras simples: para calcular a variação de entropia de um sistema entre dois estados, se existir um caminho reversível entre esses estados, integra-se \delta Q_{\text{rev}}/T ao longo desse caminho.

Passo 3

Entropia do reservatório: o reservatório A^{\prime} é grande o bastante para permanecer praticamente à temperatura constante T^{\prime} durante toda a troca. Como A absorve Q do reservatório, o reservatório entrega -Q. Para esse reservatório, a variação de entropia é dada diretamente por
\Delta S_{A^{\prime}}=\frac{\delta Q_{\text{rev},A^{\prime}}}{T^{\prime}}=\frac{-Q}{T^{\prime}},
porque a troca de calor no reservatório é efetivamente reversível (pequena alteração de energia em um corpo imenso à temperatura fixa) e sua temperatura é T^{\prime} constante. Note o sinal: se o reservatório perde calor Q, sua entropia diminui em Q/T^{\prime}.

Passo 4

Aplicando a Segunda Lei (no enunciado físico: entropia do universo não diminui): o sistema isolado formado por A mais o reservatório A^{\prime} não pode ter sua entropia total diminuída. Assim
\Delta S_{\text{tot}}=\Delta S+\Delta S_{A^{\prime}}\geqslant 0.
Substituindo \Delta S_{A^{\prime}}=-Q/T^{\prime} obtemos
\Delta S-\frac{Q}{T^{\prime}}\geqslant 0,
ou seja
\Delta S \geqslant \frac{Q}{T^{\prime}}.
Pronto: esta é exatamente a desigualdade pedida. A derivação é curta: soma das entropias não decresce; reservatório tem variação -Q/T'; daí a desigualdade para \Delta S.

Passo 5

Interpretação do caso de igualdade: quando a desigualdade vira igualdade? A igualdade \Delta S=\dfrac{Q}{T^{\prime}} ocorre exatamente quando a variação total de entropia do conjunto A+A^{\prime} é nula:
\Delta S_{\text{tot}}=0.
Fisicamente isso significa que a troca de calor entre A e A^{\prime} foi um processo reversível — não houve produção interna de entropia. Para que a transferência de calor seja reversível é necessário que não exista força motriz dissipativa para o fluxo de calor, e a principal fonte dessa força motriz é a diferença de temperatura finita entre as duas partes. Portanto a condição prática para reversibilidade é que, durante toda a troca, a temperatura do sistema A seja (praticamente) igual à do reservatório T^{\prime}, ou, dito de outro modo, que a temperatura inicial (e ao longo do processo) de A difira apenas infinitesimalmente de T^{\prime}. Se existir uma diferença finita de temperatura, o calor fluirá espontaneamente e irreversivelmente, produzindo entropia positiva e tornando a desigualdade estrita:
\Delta S > \frac{Q}{T^{\prime}}.

Passo 6

Resumo operacional e intuição extra (como aplicar na prova): sempre que um sistema recebe calor Q de um reservatório à temperatura fixa T^{\prime}, calcule a variação de entropia do reservatório como -Q/T^{\prime}. Em seguida aplique que a entropia total não diminui. Isso dá imediatamente \Delta S \ge Q/T^{\prime}. Se o enunciado pedir quando é igualdade, diga: somente no caso reversível, que exige diferença de temperatura infinitesimal entre sistema e reservatório (processo quasiestático em contato térmico).

Resposta

\displaystyle \Delta S \geqslant \frac{Q}{T^{\prime}}, com igualdade apenas se a temperatura do sistema A diferir infinitesimalmente de T^{\prime} (isto é, se a transferência de calor for reversível).

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