Suponha que um sistema
seja colocado em contato térmico com um reservatório de calor
que está a uma temperatura absoluta
e que
absorve uma quantidade de calor
nesse processo. Mostre que o aumento de entropia
de
neste processo satisfaz a desigualdade
, onde o sinal de igualdade só é válido se a temperatura inicial de
difere infinitesimalmente da temperatura
de
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma desigualdade clara:
- Um sistema
é posto em contato térmico com um reservatório que tem temperatura absoluta constante . - Durante o contato, o sistema
absorve uma quantidade de calor vinda do reservatório . - Pergunta: mostrar que o aumento de entropia
de satisfaz
e explicar quando ocorre igualdade (isto é, em que condição a desigualdade vira igualdade).
Passo 2
O que é entropia e como se relaciona com calor: a entropia é uma função de estado que, para transformações reversíveis infinitesimais, satisfaz a definição
onde:
-
é a variação infinitesimal de entropia do sistema, -
é o calor trocado no processo se esse calor fosse transferido de modo reversível, -
é a temperatura do sistema (ou do reservatório em contato reversível) no instante da troca.
Explicando em palavras simples: para calcular a variação de entropia de um sistema entre dois estados, se existir um caminho reversível entre esses estados, integra-se
ao longo desse caminho.
Passo 3
Entropia do reservatório: o reservatório
é grande o bastante para permanecer praticamente à temperatura constante
durante toda a troca. Como
absorve
do reservatório, o reservatório entrega
. Para esse reservatório, a variação de entropia é dada diretamente por
porque a troca de calor no reservatório é efetivamente reversível (pequena alteração de energia em um corpo imenso à temperatura fixa) e sua temperatura é
constante. Note o sinal: se o reservatório perde calor
, sua entropia diminui em
.
Passo 4
Aplicando a Segunda Lei (no enunciado físico: entropia do universo não diminui): o sistema isolado formado por
mais o reservatório
não pode ter sua entropia total diminuída. Assim
Substituindo
obtemos
ou seja
Pronto: esta é exatamente a desigualdade pedida. A derivação é curta: soma das entropias não decresce; reservatório tem variação
; daí a desigualdade para
.
Passo 5
Interpretação do caso de igualdade: quando a desigualdade vira igualdade? A igualdade
ocorre exatamente quando a variação total de entropia do conjunto
é nula:
Fisicamente isso significa que a troca de calor entre
e
foi um processo reversível — não houve produção interna de entropia. Para que a transferência de calor seja reversível é necessário que não exista força motriz dissipativa para o fluxo de calor, e a principal fonte dessa força motriz é a diferença de temperatura finita entre as duas partes. Portanto a condição prática para reversibilidade é que, durante toda a troca, a temperatura do sistema
seja (praticamente) igual à do reservatório
, ou, dito de outro modo, que a temperatura inicial (e ao longo do processo) de
difira apenas infinitesimalmente de
. Se existir uma diferença finita de temperatura, o calor fluirá espontaneamente e irreversivelmente, produzindo entropia positiva e tornando a desigualdade estrita:
Passo 6
Resumo operacional e intuição extra (como aplicar na prova): sempre que um sistema recebe calor
de um reservatório à temperatura fixa
, calcule a variação de entropia do reservatório como
. Em seguida aplique que a entropia total não diminui. Isso dá imediatamente
. Se o enunciado pedir quando é igualdade, diga: somente no caso reversível, que exige diferença de temperatura infinitesimal entre sistema e reservatório (processo quasiestático em contato térmico).