(SEARS 14.52) Para calcular a densidade em um dado ponto no interior de um material, considere um pequeno volume dV em torno desse ponto. Se a massa no interior do volume for igual a dm , a densidade no referido ponto será dada por
. Considere uma barra cilíndrica com massa M , raio R e comprimento L , cuja densidade varia com o quadrado da distância a uma de suas extremidades,
.
(a) Mostre que
.
(b) Mostre que a densidade média, dada por
, é igual a um terço da densidade na extremidade
.
(a) Mostre que
(b) Mostre que a densidade média, dada por
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados do enunciado:
- Barra cilíndrica de massa
, raio e comprimento . - A densidade varia segundo
, onde é a distância medida a partir de uma extremidade (ou seja, ).
- Barra cilíndrica de massa
- O que é pedido:
- (a) Determinar a constante
em função de e . - (b) Mostrar que a densidade média
é igual a um terço da densidade na extremidade .
- (a) Determinar a constante
Passo 2
Ideia física e expressão do elemento de massa.
Explicação didática: a massa total é a soma (integral) das massas de pequenos volumes elementares ao longo da barra. Como a seção transversal é constante, o volume de um fatia de espessura é a área da seção vezes
.
Explicação didática: a massa total é a soma (integral) das massas de pequenos volumes elementares ao longo da barra. Como a seção transversal é constante, o volume de um fatia de espessura
- Área da seção transversal:
- Elemento de volume (uma lâmina de espessura
):
- Elemento de massa correspondente (uso da definição
e da lei dada ):
Passo 3
Expressão para a massa total como integral e cálculo da integral.
A massa total é a integral de
ao longo de
de
a
:
A massa total
Fatorizando constantes
e
:
Usa-se a regra de potência para integrais:
. Assim
Portanto
Passo 4
Isolando
e substituindo
.
Da expressão anterior:
Da expressão anterior:
Substituindo
obtemos a forma final pedida:
Passo 5
Cálculo da densidade média e relação com
.
Definição de densidade média:
Definição de densidade média:
onde o volume total
da barra é
. Logo
Usando a expressão que encontramos para
em termos de
(passo 3),
, substitui-se:
Mas a densidade na extremidade
é
Comparando as duas expressões:
Em palavras: como a densidade cresce com
, a média ao longo do comprimento fica menor que o valor na extremidade
; exatamente um terço do valor em
.
Resposta
(a)
(b)
(b)