(SEARS 14.52) Para calcular a densidade em um dado ponto no interior de um material, considere um pequeno volume dV em torno desse ponto. Se a massa no interior do volume for igual a dm , a densidade no referido ponto será dada por \rho=d m / d V. Considere uma barra cilíndrica com massa M , raio R e comprimento L , cuja densidade varia com o quadrado da distância a uma de suas extremidades, \rho=C x^{2}.
(a) Mostre que C=3 M / \pi r^{2} L^{3}.
(b) Mostre que a densidade média, dada por \rho=m / V, é igual a um terço da densidade na extremidade x=L.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados do enunciado:
    • Barra cilíndrica de massa M, raio r e comprimento L.
    • A densidade varia segundo \rho=C x^{2}, onde x é a distância medida a partir de uma extremidade (ou seja, x\in[0,L]).
  • O que é pedido:
    • (a) Determinar a constante C em função de M,\;r e L.
    • (b) Mostrar que a densidade média \rho_{\text{média}}=M/Vé é igual a um terço da densidade na extremidade x=L.

Passo 2

Ideia física e expressão do elemento de massa.
Explicação didática: a massa total é a soma (integral) das massas de pequenos volumes elementares ao longo da barra. Como a seção transversal é constante, o volume de um fatia de espessura dx é a área da seção vezes dx.
  • Área da seção transversal:
A=\pi r^{2}.
  • Elemento de volume (uma lâmina de espessura dx):
dV = A\,dx.
  • Elemento de massa correspondente (uso da definição \rho=d m/d V e da lei dada \rho=C x^{2}):
dm=\rho(x)\,dV = C x^{2}\cdot A\,dx.

Passo 3

Expressão para a massa total como integral e cálculo da integral.
A massa total M é a integral de dm ao longo de x de 0 a L:
M=\int_{0}^{L} dm=\int_{0}^{L} C x^{2} A\,dx.
Fatorizando constantes C e A:
M = C A \int_{0}^{L} x^{2}\,dx.
Usa-se a regra de potência para integrais: \int x^{n}\,dx = x^{n+1}/(n+1). Assim
\int_{0}^{L} x^{2}\,dx = \left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{L}=\frac{L^{3}}{3}.
Portanto
M = C A \frac{L^{3}}{3}.

Passo 4

Isolando C e substituindo A=\pi r^{2}.
Da expressão anterior:
C = \frac{3M}{A L^{3}}.
Substituindo A=\pi r^{2} obtemos a forma final pedida:
C=\frac{3M}{\pi r^{2} L^{3}}.

Passo 5

Cálculo da densidade média e relação com \rho(L).
Definição de densidade média:
\rho_{\text{média}}=\frac{M}{V},é
onde o volume total V da barra é V=A L=\pi r^{2}L. Logo
\rho_{\text{média}}=\frac{M}{A L}.é
Usando a expressão que encontramos para M em termos de C (passo 3), M = C A L^{3}/3, substitui-se:
\rho_{\text{média}}=\frac{C A L^{3}/3}{A L}=\frac{C L^{2}}{3}.é
Mas a densidade na extremidade x=L é
\rho(L)=C L^{2}.
Comparando as duas expressões:
\rho_{\text{média}}=\frac{1}{3}\rho(L).é
Em palavras: como a densidade cresce com x^{2}, a média ao longo do comprimento fica menor que o valor na extremidade L; exatamente um terço do valor em x=L.

Resposta

(a) C=\dfrac{3M}{\pi r^{2} L^{3}}
(b) \rho_{\text{média}}=\dfrac{1}{3}\rho(L)é

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