Um secador é alimentado com uma corrente líquida contendo 80 \% de água. O produto final seco deve conter 5% de água. Calcule a massa de água evaporada por:
1000 kg da alimentação;

Passo 1

O enunciado pede: para uma alimentação de 1000\\ \text{kg} contendo 80\% de água, determinar a massa de água que precisa ser evaporada para que o produto final contenha 5\% de água.
Informações dadas:
  • Massa da alimentação: 1000\\ \text{kg}.
  • Fração mássica de água na alimentação: x_f=0,80.
  • Fração mássica de água no produto seco desejado: x_p=0,05.
    O que se pede: massa de água evaporada por 1000\\ \text{kg} de alimentação.

Passo 2

Definimos variáveis úteis e explicamos o raciocínio físico (conservação de massa seca):
  • m_f = massa da alimentação =1000\\ \text{kg}.
  • x_f = fração mássica de água na alimentação =0,80.
  • x_p = fração mássica de água no produto =0,05.
  • m_s = massa de matéria seca (sólidos) presente e que se conserva (não evapora).
  • m_p = massa total do produto final (sólidos + água restante).
  • m_{w,f} = massa de água na alimentação.
  • m_{w,p} = massa de água no produto final.
  • m_{ev} = massa de água evaporada (o que queremos).
    Observação: a massa de sólidos m_s é conservada no processo de secagem (somente água sai).

Passo 3

Calcular a massa de sólidos m_s e a massa de água na alimentação m_{w,f}.
A massa de sólidos vem de m_s = m_f(1 - x_f).
m_s = 1000\cdot(1-0,80)
m_s = 1000\cdot 0,20
m_s = 200\\ \text{kg}
A massa de água na alimentação é m_{w,f}=m_f x_f.
m_{w,f} = 1000\cdot 0,80 = 800\\ \text{kg}

Passo 4

Determinar a massa total do produto final m_p.
No produto final a fração de sólidos é 1-x_p. Como os sólidos valem m_s, tem-se
m_p = \frac{m_s}{1-x_p}.
Substituindo:
m_p = \frac{200}{1-0,05} = \frac{200}{0,95}.
Para manipular sem calculadora observe que 0,95=\tfrac{19}{20}, então
m_p = 200\cdot\frac{20}{19} = \frac{4000}{19}\\ \text{kg}.

Passo 5

Calcular a massa de água que permanece no produto m_{w,p}.
m_{w,p} = x_p\cdot m_p.
Usando m_p=\dfrac{4000}{19} e x_p=0,05=\dfrac{1}{20}:
m_{w,p} = \frac{1}{20}\cdot\frac{4000}{19} = \frac{4000}{380} = \frac{200}{19}\\ \text{kg}.
Numericamente, \dfrac{200}{19}\approx 10,5263\\ \text{kg} (mas guardar a fração exata facilita contas sem calculadora).

Passo 6

Calcular a massa de água evaporada m_{ev} como a diferença entre água na alimentação e água no produto:
m_{ev} = m_{w,f} - m_{w,p}.
Substituindo os valores/frações obtidos:
m_{ev} = 800 - \frac{200}{19}.
Colocando sobre o mesmo denominador obtém-se
m_{ev} = \frac{800\cdot19 - 200}{19} = \frac{15200 - 200}{19} = \frac{15000}{19}\\ \text{kg}.
Em valor decimal aproximado,
\frac{15000}{19}\approx 789,473684\\ \text{kg}.

Passo 7

Dica prática para a prova (fórmula geral rápida): para uma alimentação F com fração de água x_f e produto desejado com fração x_p,
  • Sólidos: S = F(1-x_f).
  • Produto: P = \dfrac{S}{1-x_p}.
  • Água evaporada: E = F x_f - P x_p.
    No caso desta questão com F=1000\\ \text{kg}, x_f=0,80, x_p=0,05 chega-se ao mesmo resultado que calculamos acima. Força aí — você já consegue aplicar esse raciocínio para qualquer valor de alimentação ou teores.

Resposta

\dfrac{15000}{19}\\ \text{kg} \approx 789,47\\ \text{kg}

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