Vapor superaquecido a 2000 kPa é alimentado a uma turbina, onde sofre uma expansão isentrópica e é descarregado a 50 kPa . Determinar o mínimo superaquecimento necessário na entrada para que a corrente de saída contenha apenas vapor saturado.

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e quais dados temos.
  • Dados do enunciado (pego do enunciado):
    • Pressão de entrada na turbina: \,p_1 = 2000\\ \text{kPa}.
    • Processo na turbina: expansão isentrópica (isto é, entropia constante ao longo da turbina).
    • Pressão de saída na turbina: \,p_2 = 50\\ \text{kPa}.
  • Pergunta: determinar o mínimo superaquecimento necessário na entrada para que a corrente de saída contenha apenas vapor saturado. Em palavras: qual deve ser o menor aumento de temperatura acima da temperatura de saturação em p_1=2000\\ \text{kPa} (ou seja, \Delta T = T_1 - T_{\text{sat}}(2000\\ \text{kPa})) para que, após a expansão isentrópica até 50\\ \text{kPa}, o vapor descarregado seja exatamente vapor saturado (qualidade x=1).

Passo 2

Entendendo fisicamente o que isso significa (explicação didática).
  • Expansão isentrópica significa que a entropia específica do fluido na entrada é igual à entropia específica na saída: s_1 = s_2.
  • Se a corrente de saída contém apenas vapor saturado, isso quer dizer que, na pressão de saída \,p_2, o estado do fluido é o ponto de vapor saturado; portanto a entropia na saída é a entropia do vapor saturado à pressão \,p_2: s_2 = s_g\big(p_2\big),onde s_g(p) é a entropia específica do vapor saturado à pressão p.
  • Combinando: s_1 = s_g\big(p_2\big).Ou seja: devemos fixar a entropia do fluido na entrada igual à entropia do vapor saturado à 50\\ \text{kPa}.

Passo 3

O que precisamos calcular e como proceder (estratégia).
  • Objetivo prático: encontrar a temperatura de entrada T_1 (a uma pressão fixa p_1=2000\\ \text{kPa}) tal que a entropia do vapor na entrada, àquele par (p_1,T_1), seja igual a s_g(p_2).
  • Depois, o mínimo superaquecimento é \Delta T_{\min} = T_1 - T_{\text{sat}}(p_1),onde T_{\text{sat}}(p_1) é a temperatura de saturação à pressão de entrada 2000\\ \text{kPa}.
  • Como obter T_1: usar tabelas de vapor (tabelas de vapor saturado para achar s_g(p_2) e tabelas de vapor superaquecido para achar, à pressão p_1, a temperatura T_1 que dá s=s_g(p_2)). Se não houver tabela, poderia usar relações aproximadas (modelo de gás ideal + c_p(T)), mas a forma correta e precisa é consultar as tabelas de vapor.
Observação didática curta sobre tabelas:
  • Tabela de vapor saturado: para cada pressão lista T_{\text{sat}}, s_f (entropia do líquido saturado) e s_g (entropia do vapor saturado). Para p_2 vamos usar s_g(p_2).
  • Tabela de vapor superaquecido: para uma dada pressão, lista s em função da temperatura; daí se busca a temperatura que corresponda ao s desejado.

Passo 4

Buscar a entropia do vapor saturado na pressão de saída \,p_2=50\\ \text{kPa}.
  • Usar a tabela de vapor saturado e ler s_g em p=50\\ \text{kPa}.
  • Denotar esse valor por s_{\text{target}} = s_g(50\\ \text{kPa}).
  • (Exemplo didático: nas tabelas usuais de vapor saturado encontra-se aproximadamente) s_{\text{target}} = s_g(50\\ \text{kPa}) \approx 7{,}585\\ \text{kJ}\!/\!\text{kg}\cdot\text{K}.Nota: esse número foi obtido a partir da tabela de vapor saturado; ao aplicar em prova, consulte a tabela do seu material e use o valor mostrado lá. Se na sua tabela aparecer um valor ligeiramente diferente, use o desse valor em todos os cálculos seguintes.

Passo 5

Encontrar a temperatura de entrada T_1 à pressão p_1=2000\\ \text{kPa} tal que s(p_1,T_1)=s_{\text{target}}.
  • Abrir a tabela de vapor superaquecido para p=2000\\ \text{kPa} (ou interpolar entre linhas da tabela).
  • Procurar a temperatura T tal que a entropia listada s(p_1,T) seja igual a s_{\text{target}}.
  • Na prática: procurar na coluna de entropias para p=2000\\ \text{kPa} o valor mais próximo de 7{,}585\\ \text{kJ}\!/\!\text{kg}\cdot\text{K} e ler a temperatura correspondente.
Explicação do que isso significa: como s_{\text{target}} normalmente é maior que a entropia do vapor saturado à p_1 (porque p_2 é bem menor que p_1), a temperatura encontrada será maior que a temperatura de saturação em p_1 — ou seja, vapor superaquecido — e esse aumento é exatamente o superaquecimento necessário.

Passo 6

Interpolação (se necessário) e leitura numérica (procedimento concreto).
  • Supondo que na tabela de vapor superaquecido a p=2000\\ \text{kPa} as duas linhas mais próximas de entropia sejam:
    • para T=T_a: s_a < s_{\text{target}},
    • para T=T_b: s_b > s_{\text{target}}.
  • Faz-se interpolação linear (válida para pequenas variações) por: T_1 \approx T_a + (T_b-T_a)\,\frac{s_{\text{target}}-s_a}{s_b-s_a}.
  • Depois calcula-se \Delta T_{\min}=T_1-T_{\text{sat}}(2000\\ \text{kPa}).
  • Observação didática: a entropia de vapor aumenta com a temperatura na região superaquecida, por isso a interpolação é monotônica e segura.

Passo 7

Valores numéricos exemplificativos usando tabelas (resultado final).
  • Usando tabelas padrão de vapor:
    • Leitura em tabela de saturado: em p_2=50\\ \text{kPa}: s_{\text{target}} = s_g(50\\ \text{kPa}) \approx 7{,}585\\ \text{kJ}\!/\!\text{kg}\cdot\text{K}.
    • Na tabela de vapor superaquecido para p_1=2000\\ \text{kPa}, encontra-se que a entropia s=7{,}585\\ \text{kJ}\!/\!\text{kg}\cdot\text{K} corresponde aproximadamente a uma temperatura absoluta T_1 \approx 1035\\ \text{K} (ou T_1 \approx 762^\circ\text{C}).
    • A temperatura de saturação em p_1=2000\\ \text{kPa} é T_{\text{sat}}(2000\\ \text{kPa}) \approx 212{,}4^\circ\text{C}.
    • Portanto o superaquecimento mínimo é \Delta T_{\min} = T_1 - T_{\text{sat}}(2000\\ \text{kPa}) \approx 762^\circ\text{C} - 212{,}4^\circ\text{C} \approx 549{,}6^\circ\text{C}.
Observação importante: os valores numéricos acima vêm da leitura/interpolação em tabelas de vapor. Em sua prova, utilize as tabelas que o professor disponibilizou e faça a interpolação conforme indicado; pode haver pequenas diferenças de décimas/inteiros de grau dependendo da tabela usada.

Passo 8

Resumo didático final (como fazer rápido na prova):
  • Passo A: da tabela de saturado ler s_g em p_2.
  • Passo B: ir na tabela de superaquecido para p_1, localizar a temperatura que dá essa mesma entropia (interpolar se necessário).
  • Passo C: calcular \Delta T = T_1 - T_{\text{sat}}(p_1).
  • Esse \Delta T é o mínimo superaquecimento para garantir saída com vapor saturado.

Resposta

\displaystyle \Delta T_{\min}\approx 5{,}50\times 10^{2}\\ ^\circ\mathrm{C}

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