Uma corrente de processo consistindo de uma suspensão de carvão e argila em água, e com uma densidade média de 1,744 , é misturada com água num tanque agitado antes de ser alimentada a um filtro. A alimentação do filtro tem uma densidade de média de 1,248. O filtro produz uma corrente de sólidos a uma taxa de 1,395 \mathrm{t} / \mathrm{min} e um filtrado com vazão de 2,349 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{min} de água. Qual a composição da corrente de processo? Densidade do carvão =1,5 e densidade da argila =2,5.

Passo 1

O enunciado pede a composição por massa (frações ou percentuais) da corrente de processo original (a suspensão de carvão + argila em água). Dados fornecidos (todos os números serão usados exatamente como dados):
  • Densidade média da corrente de processo (antes de diluir): \rho_p = 1,744.
  • Essa corrente é misturada com água num tanque e a alimentação do filtro (após mistura) tem densidade média \rho_f = 1,248.
  • O filtro produz uma corrente sólida com vazão de massa 1,395\\ \mathrm{t/min}.
  • O filtrado é água com vazão volumétrica 2,349\\ \mathrm{m^3/min}.
  • Densidade do carvão: \rho_{\text{carvão}} = 1,5ã.
  • Densidade da argila: \rho_{\text{argila}} = 2,5.
  • Densidade da água: \rho_{\text{água}} = 1,0á (assumida).
O que se pede: composição por massa da corrente de processo (frações ou percentuais de carvão, argila e água).

Passo 2

Plano de solução (resumido):
  • Fazer balanço de massa na alimentação do filtro para obter a vazão total de massa e o volume de alimentação.
  • Usar o fato de que a alimentação do filtro resulta da mistura da corrente de processo com água para achar a vazão volumétrica (e de massa) da corrente de processo original.
  • Determinar quantos toneladas por minuto de sólidos (carvão + argila) e de água existem nessa corrente de processo.
  • Separar os sólidos em carvão e argila usando a relação de volumes (a soma dos volumes parciais dos componentes = volume total), que leva à fórmula da densidade média:
\frac{1}{\rho_{\text{mist}}}=\sum_i \frac{w_i}{\rho_i},
onde w_i são as frações mássicas.
Vou aplicar esses passos um a um, explicando cada fórmula e conta.

Passo 3

Converter o filtrado volumétrico em massa e obter a vazão total de massa da alimentação do filtro.
  • O filtrado é água com vazão volumétrica \dot V_{\text{filtrado}}=2,349\\ \mathrm{m^3/min}. Com \rho_{\text{água}}=1,0\\ \mathrm{t/m^3}á, a vazão de massa do filtrado é
\dot m_{\text{filtrado}}=\rho_{\text{água}}\cdot \dot V_{\text{filtrado}} = 1,0\cdot 2,349 = 2,349\\ \mathrm{t/min}.á
(Todos os números expressos em TeX como pedido.)
  • A vazão de massa de sólidos (corrente sólida) é dada: \dot m_{\text{sólidos}}=1,395\\ \mathrm{t/min}.ó
  • A vazão de massa total da alimentação do filtro é soma:
\dot m_{f}=\dot m_{\text{sólidos}}+\dot m_{\text{filtrado}}=1,395+2,349=3,744\\ \mathrm{t/min}.ó

Passo 4

Calcular vazão volumétrica da alimentação do filtro e relacionar com a mistura.
  • A densidade média da alimentação é \rho_f=1,248. Logo a vazão volumétrica da alimentação é
\dot V_{f}=\frac{\dot m_{f}}{\rho_f}=\frac{3,744}{1,248}=3,000\\ \mathrm{m^3/min}.
(Observe que a conta fica exata: 1,248\times 3,000=3,744.)
  • A alimentação do filtro resulta da mistura da corrente de processo (volume \dot V_p, densidade \rho_p=1,744) com água pura (volume \dot V_w, densidade 1,0), portanto
\dot V_p+\dot V_w=\dot V_{f}=3,000.
Também vale balanço de massa:
\rho_p\dot V_p + 1{,}0\cdot \dot V_w = \rho_f \dot V_{f}=3,744.
Substituindo \dot V_w=3,000-\dot V_p na equação de massa:
1{,}744\dot V_p + 1{,}0(3,000-\dot V_p)=3,744.
Fazendo as contas:
1{,}744\dot V_p + 3,000 - \dot V_p = 3,744
(1{,}744-1{,}0)\dot V_p = 3,744-3,000
0{,}744\dot V_p = 744
\dot V_p = \frac{744}{0{,}744}=1,000\\ \mathrm{m^3/min}.
  • Logo a corrente de processo original tem vazão volumétrica \dot V_p=1,000\\ \mathrm{m^3/min} e massa
\dot m_p=\rho_p\dot V_p=1{,}744\times 1{,}000=1{,}744\\ \mathrm{t/min}.

Passo 5

Encontrar quanto da massa da corrente de processo é água e quanto é sólidos.
  • Os sólidos que chegam ao filtro (assume-se que todos os sólidos da alimentação vão para a corrente sólida) totalizam \dot m_{\text{sólidos}}=1,395\\ \mathrm{t/min}ó. Esses sólidos vieram apenas da corrente de processo (a água adicionada no tanque é água pura, sem sólidos). Portanto, na corrente de processo temos:
\text{massa de sólidos na corrente de processo} = 1{,}395\\ \mathrm{t/min}.ó
  • A massa de água na corrente de processo é a diferença entre a massa total da corrente de processo e os sólidos:
\dot m_{\text{água, no processo}}=\dot m_p-\dot m_{\text{sólidos}}=1{,}744-1{,}395=349\\ \mathrm{t/min}.áó
Até aqui temos as massas em t/min de cada “categoria” (sólidos total e água). Falta separar os sólidos em carvão e argila.

Passo 6

Separar os sólidos (carvão e argila) usando a equação da densidade média (princípio do volume aditivo).
Explicação da fórmula: se uma mistura tem frações mássicas w_i e densidades \rho_i, o volume específico médio (volume por unidade de massa) é a soma dos volumes específicos parciais:
\frac{1}{\rho_{\text{mist}}}=\sum_i \frac{w_i}{\rho_i}.
Isto vem de: volume total V=\sum_i m_i/\rho_i; dividindo por massa total m V/m=\sum_i (m_i/m)/\rho_i=\sum w_i/\rho_i. Invertendo obtém-se a densidade média.
Aqui é mais direto trabalhar com massas absolutas (evita frações): o volume total da corrente de processo é \dot V_p=1{,}000\\ \mathrm{m^3/min}. Esse volume é soma dos volumes parciais de carvão, argila e água:
\frac{\dot m_{\text{carvão}}}{\rho_{\text{carvão}}}+\frac{\dot m_{\text{argila}}}{\rho_{\text{argila}}}+\frac{\dot m_{\text{água}}}{\rho_{\text{água}}}=\dot V_p.ããáá
Nessa equação só falta \dot m_{\text{carvão}}ã e \dot m_{\text{argila}}. Sabemos também que
\dot m_{\text{carvão}}+\dot m_{\text{argila}}=\dot m_{\text{sólidos}}=1{,}395.ãó
Substituindo \dot m_{\text{água}}=349á e \dot V_p=1{,}000:
\frac{\dot m_{\text{carvão}}}{1{,}5}+\frac{\dot m_{\text{argila}}}{2{,}5}+349=1{,}000.ã
Logo
\frac{\dot m_{\text{carvão}}}{1{,}5}+\frac{\dot m_{\text{argila}}}{2{,}5}=651.ã
Multiplicar ambos os lados por 15 (para eliminar decimais: 15\cdot\frac{1}{1{,}5}=10 e 15\cdot\frac{1}{2{,}5}=6):
10\,\dot m_{\text{carvão}}+6\,\dot m_{\text{argila}}=15\cdot 651=9{,}765.ã
Também temos
\dot m_{\text{carvão}}+\dot m_{\text{argila}}=1{,}395.ã
Multiplicar essa segunda equação por 6:
6\,\dot m_{\text{carvão}}+6\,\dot m_{\text{argila}}=6\cdot 1{,}395=8{,}370.ã
Subtrair a última equação da anterior:
(10-6)\dot m_{\text{carvão}} = 9{,}765-8{,}370ã
4\,\dot m_{\text{carvão}} = 1{,}395ã
\dot m_{\text{carvão}} = \frac{1{,}395}{4} = 348{,}75\\ \mathrm{t/min}.ã
Então
\dot m_{\text{argila}} = 1{,}395-348{,}75 = 1{,}046{,}25\\ \mathrm{t/min}.

Passo 7

Calcular as frações mássicas (composição por massa) e percentuais finais da corrente de processo.
  • Massas encontradas na corrente de processo:
    • Carvão: \dot m_{\text{carvão}}=348{,}75\\ \mathrm{t/min}.ã
    • Argila: \dot m_{\text{argila}}=1{,}046{,}25\\ \mathrm{t/min}.
    • Água: \dot m_{\text{água}}=349{,}00\\ \mathrm{t/min}.á
    • Soma: 348{,}75+1{,}046{,}25+349{,}00=1{,}744\\ \mathrm{t/min} (confere com \dot m_p).
  • Frações mássicas:
w_{\text{carvão}}=\frac{348{,}75}{1{,}744}\approx 0{,}19997\quad(\approx 19{,}997\%),ã
w_{\text{argila}}=\frac{1{,}046{,}25}{1{,}744}\approx 0{,}60003\quad(\approx 60{,}003\%),
w_{\text{água}}=\frac{349{,}00}{1{,}744}\approx 0{,}20006\quad(\approx 20{,}006\%).á
Arredondando de forma prática para a prova, dá-se
  • Carvão ≈ 20{,}0\% em massa,
  • Argila ≈ 60{,}0\% em massa,
  • Água ≈ 20{,}0\% em massa.

Resposta

Composição da corrente de processo (por massa):
Carvão = 348{,}75\\ \mathrm{t/min} \approx 19{,}997\%
Argila = 1{,}046{,}25\\ \mathrm{t/min} \approx 60{,}003\%
Água = 349{,}00\\ \mathrm{t/min} \approx 20{,}006\%

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