Uma corrente de processo consistindo de uma suspensão de carvão e argila em água, e com uma densidade média de 1,744 , é misturada com água num tanque agitado antes de ser alimentada a um filtro. A alimentação do filtro tem uma densidade de média de 1,248. O filtro produz uma corrente de sólidos a uma taxa de
e um filtrado com vazão de
de água. Qual a composição da corrente de processo? Densidade do carvão
e densidade da argila
.
Passo 1
O enunciado pede a composição por massa (frações ou percentuais) da corrente de processo original (a suspensão de carvão + argila em água). Dados fornecidos (todos os números serão usados exatamente como dados):
- Densidade média da corrente de processo (antes de diluir):
. - Essa corrente é misturada com água num tanque e a alimentação do filtro (após mistura) tem densidade média
. - O filtro produz uma corrente sólida com vazão de massa
. - O filtrado é água com vazão volumétrica
. - Densidade do carvão:
. - Densidade da argila:
. - Densidade da água:
(assumida).
O que se pede: composição por massa da corrente de processo (frações ou percentuais de carvão, argila e água).
Passo 2
Plano de solução (resumido):
- Fazer balanço de massa na alimentação do filtro para obter a vazão total de massa e o volume de alimentação.
- Usar o fato de que a alimentação do filtro resulta da mistura da corrente de processo com água para achar a vazão volumétrica (e de massa) da corrente de processo original.
- Determinar quantos toneladas por minuto de sólidos (carvão + argila) e de água existem nessa corrente de processo.
- Separar os sólidos em carvão e argila usando a relação de volumes (a soma dos volumes parciais dos componentes = volume total), que leva à fórmula da densidade média:
onde
são as frações mássicas.
Vou aplicar esses passos um a um, explicando cada fórmula e conta.
Passo 3
Converter o filtrado volumétrico em massa e obter a vazão total de massa da alimentação do filtro.
- O filtrado é água com vazão volumétrica
. Com , a vazão de massa do filtrado é
(Todos os números expressos em TeX como pedido.)
-
A vazão de massa de sólidos (corrente sólida) é dada:
-
A vazão de massa total da alimentação do filtro é soma:
Passo 4
Calcular vazão volumétrica da alimentação do filtro e relacionar com a mistura.
- A densidade média da alimentação é
. Logo a vazão volumétrica da alimentação é
(Observe que a conta fica exata:
.)
- A alimentação do filtro resulta da mistura da corrente de processo (volume
, densidade ) com água pura (volume , densidade ), portanto
Também vale balanço de massa:
Substituindo
na equação de massa:
Fazendo as contas:
- Logo a corrente de processo original tem vazão volumétrica
e massa
Passo 5
Encontrar quanto da massa da corrente de processo é água e quanto é sólidos.
- Os sólidos que chegam ao filtro (assume-se que todos os sólidos da alimentação vão para a corrente sólida) totalizam
. Esses sólidos vieram apenas da corrente de processo (a água adicionada no tanque é água pura, sem sólidos). Portanto, na corrente de processo temos:
- A massa de água na corrente de processo é a diferença entre a massa total da corrente de processo e os sólidos:
Até aqui temos as massas em t/min de cada “categoria” (sólidos total e água). Falta separar os sólidos em carvão e argila.
Passo 6
Separar os sólidos (carvão e argila) usando a equação da densidade média (princípio do volume aditivo).
Explicação da fórmula: se uma mistura tem frações mássicas
e densidades
, o volume específico médio (volume por unidade de massa) é a soma dos volumes específicos parciais:
Isto vem de: volume total
; dividindo por massa total
dá
. Invertendo obtém-se a densidade média.
Aqui é mais direto trabalhar com massas absolutas (evita frações): o volume total da corrente de processo é
. Esse volume é soma dos volumes parciais de carvão, argila e água:
Nessa equação só falta
e
. Sabemos também que
Substituindo
e
:
Logo
Multiplicar ambos os lados por
(para eliminar decimais:
e
):
Também temos
Multiplicar essa segunda equação por
:
Subtrair a última equação da anterior:
Então
Passo 7
Calcular as frações mássicas (composição por massa) e percentuais finais da corrente de processo.
-
Massas encontradas na corrente de processo:
- Carvão:
- Argila:
- Água:
- Soma:
(confere com ).
- Carvão:
-
Frações mássicas:
Arredondando de forma prática para a prova, dá-se
- Carvão ≈
em massa, - Argila ≈
em massa, - Água ≈
em massa.
Resposta
Composição da corrente de processo (por massa):
Carvão =
Argila =
Água =
Carvão =
Argila =
Água =