Adsorção de n-butanol presente no ar ( 20^{\circ} \mathrm{C} ) foi estudada em uma pequena coluna de leito fixo com 10,16 \mathrm{~cm} de diâmetro e quantidade de carvão ativado de 300 g , que correspondem a 8 cm de altura de leito. Os dados a seguir foram obtidos de ensaios de adsorção realizados nas condições apresentadas anteriormente.
\mathbf{3 0 0 ~} \mathbf{g}
\mathbf{t}[\mathbf{h}] 1 1,5 2 2,4 2,8 3,3 4 5
\mathbf{c} / \mathbf{c}_{0} 0,005 0,01 0,027 0,05 0,1 0,2 0,29 0,56
Dados:
u_{0}=58 \mathrm{~cm} / \mathrm{s};
c_{0}=365 p p m;
\rho_{b}=0,461 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3};
\dot{V}=0,3402 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{kg} de alimentação
Determine o número de unidades de transferência global e o coeficiente global de transferência de massa (Kca).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que pede (vou pegar textual e numericamente os dados do enunciado).
Dados fornecidos:
  • massa de carvão ativado: 300\\ \mathrm{g}.
  • diâmetro da coluna: d=10{,}16\\ \mathrm{cm}.
  • altura do leito: Z=8\\ \mathrm{cm}.
  • velocidade superficial do fluido: u_{0}=58\\ \mathrm{cm/s}.
  • concentração de alimentação (em volume): c_{0}=365\\ \mathrm{ppm}.
  • densidade aparente do leito: \rho_b=0{,}461\\ \mathrm{g/cm^3}.
  • foi dada também \dot{V}=0{,}3402\\ \mathrm{m^3/kg} (o enunciado fornece este número; eu vou comentar mais adiante sobre seu uso).
  • Curva experimental (t em horas; c/c_0 adimensional):
    • t [h]: 1,\\\ 1{,}5,\\\ 2,\\\ 2{,}4,\\\ 2{,}8,\\\ 3{,}3,\\\ 4,\\\ 5.
    • c/c_0: 0{,}005,\\\ 0{,}01,\\\ 0{,}027,\\\ 0{,}05,\\\ 0{,}1,\\\ 0{,}2,\\\ 0{,}29,\\\ 0{,}56.
O enunciado pede:
  • determinar o número de unidades de transferência global (vou chamar de N);
  • determinar o coeficiente global de transferência de massa K_{ca}.
Observações iniciais (sem ainda resolver): a metodologia mais direta e comumente usada para este tipo de problema (leito fixo, curva de breakthrough) é usar o método por unidades de transferência (analogamente ao método de HTU/NTU usado em absorção) assumindo que o coeficiente global dado é o produto do coeficiente de transferência pela área específica do leito (K_{ca} \equiv K_c \, a). Para aplicar isto é necessário escolher um critério de “breakthrough” (por exemplo c/c_0=0{,}05 ou outro valor). Vou explicar e justificar a escolha a seguir e mostrar todos os passos de cálculo.

Passo 2

Escolha do critério de breakthrough e método adotado (explicação didática)
  • Em problemas práticos de leitos fixos a definição do “tempo de breakthrough” depende de qual fração de c_0 se considera aceitável na saída. Um critério comum é tomar como tempo de breakthrough o instante em que c/c_0=0{,}05 (5% da concentração de entrada). Na tabela dada observamos que esse nível ocorre em t=2{,}4\\ \mathrm{h}. Vou usar esse ponto como referência — se preferir outro critério (por exemplo c/c_0=0{,}1 ), o procedimento é idêntico, muda apenas o número final de unidades.
  • Fundamento físico e fórmula que vamos usar (explicação didática):
    • Para um escoamento em plug-flow através de um leito onde a equação diferencial linearizada que descreve a queda de concentração ao longo do eixo z pode ser escrita como \frac{dC}{dz} = -\frac{K_{ca}}{u_0}\,C,(esta forma corresponde ao caso em que a fase sólida limpa apresenta capacidade de reter e a concentração de equilíbrio no sólido é eficazmente desprezível no time zero; essa simplificação leva à solução exponencial para C(z)). Integrando de z=0 a z=Z obtemos \ln\!\left(\frac{C_0}{C_b}\right) = \frac{K_{ca}}{u_0}\,Z.
      • Definição: o número de unidades de transferência N (às vezes chamado NTU) é definido por
      N \equiv \ln\!\left(\frac{C_0}{C_b}\right).
      • A altura de uma unidade de transferência (HTU) segue de
      \mathrm{HTU} = \frac{Z}{N}.
      • Finalmente, isolando K_{ca} obtemos
      K_{ca} = \frac{u_0}{\mathrm{HTU}} = \frac{u_0\,N}{Z}.
    • Observação sobre K_{ca}: neste contexto K_{ca} representa o coeficiente global de transferência de massa por unidade de volume de leito (produto do coeficiente superficial pela área específica do contato por unidade de volume). As unidades resultantes serão \mathrm{s^{-1}} se usarmos u_0 em \mathrm{m/s} e Z em \mathrm{m}.
  • Justificativa do uso desta fórmula: é a formulação clássica HTU–NTU adotada quando a resistência global é bem representada por um termo proporcional à diferença de concentração e quando o perfil axial de concentração é aproximadamente exponencial — aproximação largamente usada em problemas de projeto de leitos fixos quando se quer uma estimativa do coeficiente global de transferência.

Passo 3

Converter unidades geométricas e velocidade para o SI (cálculos passo a passo)
  • converter diâmetro para metros e calcular área da seção transversal: d = 10{,}16\\ \mathrm{cm} = 0{,}1016\\ \mathrm{m}, \qquad r=\frac{d}{2}=0{,}0508\\ \mathrm{m},
A=\pi r^2=\pi(0{,}0508)^2 \approx 0{,}008103\\ \mathrm{m^2}.
  • velocidade superficial em \mathrm{m/s}:
    u_0 = 58\\ \mathrm{cm/s} = 0{,}58\\ \mathrm{m/s}.
  • altura do leito em metros:
    Z = 8\\ \mathrm{cm} = 0{,}08\\ \mathrm{m}.
Observação: a vazão volumétrica Q pode ser obtida por Q = u_0 A. Vou calcular Q porque é útil para interpretar a curva de breakthrough e calcular quantidade adsorvida, que ajuda a checar consistência dos números:
Q = u_0 A = 0{,}58\cdot 0{,}008103 \approx 0{,}0046997\\ \mathrm{m^3/s}.
Em \mathrm{m^3/h}:
Q = 0{,}0046997\cdot 3600 \approx 16{,}919\\ \mathrm{m^3/h}.

Passo 4

Converter concentração em ppm para concentração em massa (g/m^3) — como proceder e fazer os cálculos
  • Para transformar \mathrm{ppm} (por volume) em \mathrm{g/m^3} usamos a relação com o volume molar do gás. A uma pressão de 1\\ \mathrm{atm} e T=20^\circ\mathrm{C} ( T=293{,}15\\ \mathrm{K} ) o volume molar é aproximadamente V_m=\frac{R T}{p}\approx 0{,}02405\\ \mathrm{m^3/mol}.
  • Para uma espécie com massa molar M (g/mol) a conversão é \text{(g/m}^3)=\text{ppmv}\times 10^{-6}\times\frac{1}{V_m}\times M.
  • Para n-butanol M\approx 74{,}12\\ \mathrm{g/mol}. Então 1 ppm corresponde a aproximadamente 1\\ \mathrm{ppm}\Rightarrow 1\times 10^{-6}\cdot\frac{1}{0{,}02405}\cdot74{,}12 \approx 3{,}083\\ \mathrm{mg/m^3}.
  • Assim a concentração de alimentação em massa é c_0' = 365\\ \mathrm{ppm}\times 3{,}083\\ \frac{\mathrm{mg}}{\mathrm{m^3\cdot ppm}} \approx 1125\\ \mathrm{mg/m^3}=1{,}125\\ \mathrm{g/m^3}.

Passo 5

Determinar massa total adsorvida até t=5\\ \mathrm{h} (cálculo prático usando a curva experimental) — isso ajuda a compreender a ordem de grandeza do processo
  • Vou transformar a coluna de c/c_0 em concentrações de saída em massa c(t) (g/m^3) usando c(t)=\bigl(c/c_0\bigr)\,c_0'.
    Calculei os valores (mostro alguns): \begin{aligned} &c_0' = 1{,}125\\ \mathrm{g/m^3},\\\ &c(1{\,}\mathrm{h})=0{,}005\cdot 1{,}125 = 0{,}005625\\ \mathrm{g/m^3},\\\ &c(1{,}5{\,}\mathrm{h})=0{,}01\cdot 1{,}125 = 0{,}01125\\ \mathrm{g/m^3},\\ \text{etc.} \end{aligned}
  • A massa adsorvida até t=5\\ \mathrm{h} pode ser obtida pela balança de massa integrada: M_{\text{ads}}=\int_0^{5\\ \mathrm{h}} \bigl[c_0' - c(t)\bigr]\,Q\,dt.
    • Para avaliar \int (c_0'-c)\,dt usei a regra trapezoidal nos pontos dados (assumindo c(0)=0; os primeiros dados começam em t=1\\ \mathrm{h}, é razoável supor baixa concentração antes). A integral numérica deu (passo a passo no cálculo) um valor aproximado \int_0^{5\\ \mathrm{h}} \bigl[c_0' - c(t)\bigr]\,dt \approx 4{,}80105\\ \mathrm{g\cdot h/m^3}.
    • Multiplicando por Q em \mathrm{m^3/h}: M_{\text{ads}} \approx 4{,}80105\\ \frac{\mathrm{g\cdot h}}{\mathrm{m^3}}\times 16{,}919\\ \frac{\mathrm{m^3}}{\mathrm{h}} \approx 81{,}25\\ \mathrm{g}.
  • Portanto, a massa de n-butanol capturada no leito até t=5\\ \mathrm{h} é aproximadamente M_{\text{ads}}\approx 81{,}25\\ \mathrm{g}. Dividida pela massa de adsorvente: q_{\text{ads}}=\frac{M_{\text{ads}}}{m_{\text{carv\~ao}}}=\frac{81{,}25\\ \mathrm{g}}{300\\ \mathrm{g}} \approx 0{,}2708\\ \mathrm{g\\ adsorbato/g\\ adsorvente}=270{,}8\\ \mathrm{mg/g}.(isso é só uma verificação de ordem de grandeza; o enunciado não pedia explicitamente M_{\text{ads}}, mas é útil para checar consistência dos cálculos.)

Passo 6

Cálculo do número de unidades de transferência N (NTU) usando o critério escolhido c/c_0=0{,}05
  • Adotando como ponto de breakthrough c_b/c_0=0{,}05 (presente na tabela em t=2{,}4\\ \mathrm{h}), a definição que usei no passo 2 dá N = \ln\!\left(\frac{C_0}{C_b}\right) = \ln\!\left(\frac{1}{c_b/c_0}\right) = \ln\!\left(\frac{1}{0{,}05}\right)=\ln(20).
  • Avaliando numericamente: N = \ln(20) \approx 2{,}9957 \approx 3{,}00.
  • Interpretação: esse número significa que, sob as simplificações adotadas, são necessárias cerca de 3 unidades de transferência ao longo da altura do leito para reduzir a concentração de C_0 a 0{,}05 C_0.

Passo 7

Cálculo do HTU e do coeficiente global K_{ca} (assumindo K_{ca} = produto coeficiente × área específica, ou seja o termo usado em muitos tratamentos como o coeficiente global por unidade de volume de leito)
  • A altura de uma unidade de transferência é \mathrm{HTU}=\frac{Z}{N}=\frac{0{,}08\\ \mathrm{m}}{2{,}9957}\approx 0{,}02672\\ \mathrm{m}.
  • O coeficiente global K_{ca} então segue de K_{ca}=\frac{u_0}{\mathrm{HTU}}=\frac{0{,}58\\ \mathrm{m/s}}{0{,}02672\\ \mathrm{m}}\approx 21{,}70\\ \mathrm{s^{-1}}.
  • Em palavras: K_{ca} obtido aqui tem unidade \mathrm{s^{-1}} e representa o termo global de transferência por unidade de volume de leito (produto de um coeficiente de transferência por área específica). Esta é precisamente a grandeza que aparece na equação simplificada usada para obter N.

Passo 8

Resumo das hipóteses e observações finais (importante para prova e para interpretar os números)
  • Hipóteses feitas (eu explico para que você saiba onde essas aproximações podem falhar):
    1. Usei o critério de breakthrough c_b/c_0=0{,}05 porque é um critério padrão e está presente na tabela em t=2{,}4\\ \mathrm{h}. Se o enunciado exigisse outro critério (por exemplo c/c_0=0{,}1 ) os valores de N e K_{ca} mudariam.
    2. Adotei a formulação HTU–NTU do tipo exponencial \ln(C_0/C_b)=K_{ca}Z/u_0. Essa formulação equivale a considerar que a resistência global ao transporte pode ser representada por um termo proporcional à diferença de concentração e que o sistema se comporta como plug flow com decaimento exponencial ao longo do eixo.
    3. Interpretei K_{ca} como o coeficiente global já multiplicado pela área por unidade de volume de leito (ou seja, a própria grandeza comumente chamada K_{ca} em desenhos HTU–NTU). Em muitos textos essa é a definição adotada; se no seu curso K_{ca} denota somente o coeficiente superficial sem multiplicar pela área, então é necessário dividir o valor obtido aqui pela área específica a (essa a normalmente depende do diâmetro das partículas e da sua dispersão e NÃO foi fornecida no enunciado).
    4. Não usei diretamente o valor \dot{V}=0{,}3402\\ \mathrm{m^3/kg} porque a relação entre esse número e a definição de K_{ca} não é unívoca sem explicitar o que esse \dot{V} representa (volume total por kg até exaustão? vazão por massa de leito?); se o enunciado queria que ele fosse usado de forma específica, deveria ficar explícito. Se você souber o significado exato desse \dot{V} posso incorporar sem problema.
  • Sensibilidade: se usássemos como critério c_b/c_0=0{,}1 (10% — também presente na tabela em t\approx 2{,}8\\ \mathrm{h}), então
    N=\ln(1/0{,}1)=\ln(10)\approx 2{,}3026,
K_{ca}=\frac{u_0 N}{Z}=\frac{0{,}58\times 2{,}3026}{0{,}08}\approx 16{,}68\\ \mathrm{s^{-1}}.
Ou seja, a escolha do critério altera o número final; por isso é vital declarar o critério de breakthrough numa prova.

Resposta

N = \ln\!\left(\dfrac{1}{0{,}05}\right) \approx 2{,}996
K_{ca} = \dfrac{u_0\,N}{Z} \approx 21{,}7\\ \mathrm{s^{-1}}

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