Adsorção de n-butanol presente no ar (
) foi estudada em uma pequena coluna de leito fixo com
de diâmetro e quantidade de carvão ativado de 300 g , que correspondem a 8 cm de altura de leito. Os dados a seguir foram obtidos de ensaios de adsorção realizados nas condições apresentadas anteriormente.
1
1,5
2
2,4
2,8
3,3
4
5
0,005
0,01
0,027
0,05
0,1
0,2
0,29
0,56
Dados:
;
;
;
de alimentação
Determine o número de unidades de transferência global e o coeficiente global de transferência de massa (Kca).
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1 | 1,5 | 2 | 2,4 | 2,8 | 3,3 | 4 | 5 |
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0,005 | 0,01 | 0,027 | 0,05 | 0,1 | 0,2 | 0,29 | 0,56 |
Determine o número de unidades de transferência global e o coeficiente global de transferência de massa (Kca).
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que pede (vou pegar textual e numericamente os dados do enunciado).
Dados fornecidos:
- massa de carvão ativado:
. - diâmetro da coluna:
. - altura do leito:
. - velocidade superficial do fluido:
. - concentração de alimentação (em volume):
. - densidade aparente do leito:
. - foi dada também
(o enunciado fornece este número; eu vou comentar mais adiante sobre seu uso). - Curva experimental (t em horas;
adimensional): -
[h]: . -
: .
-
O enunciado pede:
- determinar o número de unidades de transferência global (vou chamar de
); - determinar o coeficiente global de transferência de massa
.
Observações iniciais (sem ainda resolver): a metodologia mais direta e comumente usada para este tipo de problema (leito fixo, curva de breakthrough) é usar o método por unidades de transferência (analogamente ao método de HTU/NTU usado em absorção) assumindo que o coeficiente global dado é o produto do coeficiente de transferência pela área específica do leito
. Para aplicar isto é necessário escolher um critério de “breakthrough” (por exemplo
ou outro valor). Vou explicar e justificar a escolha a seguir e mostrar todos os passos de cálculo.
Passo 2
Escolha do critério de breakthrough e método adotado (explicação didática)
-
Em problemas práticos de leitos fixos a definição do “tempo de breakthrough” depende de qual fração de
se considera aceitável na saída. Um critério comum é tomar como tempo de breakthrough o instante em que (5% da concentração de entrada). Na tabela dada observamos que esse nível ocorre em . Vou usar esse ponto como referência — se preferir outro critério (por exemplo ), o procedimento é idêntico, muda apenas o número final de unidades. -
Fundamento físico e fórmula que vamos usar (explicação didática):
- Para um escoamento em plug-flow através de um leito onde a equação diferencial linearizada que descreve a queda de concentração ao longo do eixo
pode ser escrita como (esta forma corresponde ao caso em que a fase sólida limpa apresenta capacidade de reter e a concentração de equilíbrio no sólido é eficazmente desprezível no time zero; essa simplificação leva à solução exponencial para ). Integrando de a obtemos - Definição: o número de unidades de transferência
(às vezes chamado NTU) é definido por
- A altura de uma unidade de transferência (HTU) segue de
- Finalmente, isolando
obtemos
- Definição: o número de unidades de transferência
- Observação sobre
: neste contexto representa o coeficiente global de transferência de massa por unidade de volume de leito (produto do coeficiente superficial pela área específica do contato por unidade de volume). As unidades resultantes serão se usarmos em e em .
- Para um escoamento em plug-flow através de um leito onde a equação diferencial linearizada que descreve a queda de concentração ao longo do eixo
-
Justificativa do uso desta fórmula: é a formulação clássica HTU–NTU adotada quando a resistência global é bem representada por um termo proporcional à diferença de concentração e quando o perfil axial de concentração é aproximadamente exponencial — aproximação largamente usada em problemas de projeto de leitos fixos quando se quer uma estimativa do coeficiente global de transferência.
Passo 3
Converter unidades geométricas e velocidade para o SI (cálculos passo a passo)
- converter diâmetro para metros e calcular área da seção transversal:
-
velocidade superficial em
: -
altura do leito em metros:
Observação: a vazão volumétrica
pode ser obtida por
. Vou calcular
porque é útil para interpretar a curva de breakthrough e calcular quantidade adsorvida, que ajuda a checar consistência dos números:
Em
:
Passo 4
Converter concentração em ppm para concentração em massa (g/m^3) — como proceder e fazer os cálculos
- Para transformar
(por volume) em usamos a relação com o volume molar do gás. A uma pressão de e ( ) o volume molar é aproximadamente - Para uma espécie com massa molar
(g/mol) a conversão é - Para n-butanol
. Então 1 ppm corresponde a aproximadamente - Assim a concentração de alimentação em massa é
Passo 5
Determinar massa total adsorvida até
(cálculo prático usando a curva experimental) — isso ajuda a compreender a ordem de grandeza do processo
- Vou transformar a coluna de
em concentrações de saída em massa (g/m^3) usando .
Calculei os valores (mostro alguns): - A massa adsorvida até
pode ser obtida pela balança de massa integrada: - Para avaliar
usei a regra trapezoidal nos pontos dados (assumindo ; os primeiros dados começam em , é razoável supor baixa concentração antes). A integral numérica deu (passo a passo no cálculo) um valor aproximado - Multiplicando por
em :
- Para avaliar
- Portanto, a massa de n-butanol capturada no leito até
é aproximadamente . Dividida pela massa de adsorvente: (isso é só uma verificação de ordem de grandeza; o enunciado não pedia explicitamente , mas é útil para checar consistência dos cálculos.)
Passo 6
Cálculo do número de unidades de transferência
(NTU) usando o critério escolhido
- Adotando como ponto de breakthrough
(presente na tabela em ), a definição que usei no passo 2 dá - Avaliando numericamente:
- Interpretação: esse número significa que, sob as simplificações adotadas, são necessárias cerca de 3 unidades de transferência ao longo da altura do leito para reduzir a concentração de
a .
Passo 7
Cálculo do HTU e do coeficiente global
(assumindo
= produto coeficiente × área específica, ou seja o termo usado em muitos tratamentos como o coeficiente global por unidade de volume de leito)
- A altura de uma unidade de transferência é
- O coeficiente global
então segue de - Em palavras:
obtido aqui tem unidade e representa o termo global de transferência por unidade de volume de leito (produto de um coeficiente de transferência por área específica). Esta é precisamente a grandeza que aparece na equação simplificada usada para obter .
Passo 8
Resumo das hipóteses e observações finais (importante para prova e para interpretar os números)
-
Hipóteses feitas (eu explico para que você saiba onde essas aproximações podem falhar):
- Usei o critério de breakthrough
porque é um critério padrão e está presente na tabela em . Se o enunciado exigisse outro critério (por exemplo ) os valores de e mudariam. - Adotei a formulação HTU–NTU do tipo exponencial
. Essa formulação equivale a considerar que a resistência global ao transporte pode ser representada por um termo proporcional à diferença de concentração e que o sistema se comporta como plug flow com decaimento exponencial ao longo do eixo. - Interpretei
como o coeficiente global já multiplicado pela área por unidade de volume de leito (ou seja, a própria grandeza comumente chamada em desenhos HTU–NTU). Em muitos textos essa é a definição adotada; se no seu curso denota somente o coeficiente superficial sem multiplicar pela área, então é necessário dividir o valor obtido aqui pela área específica (essa normalmente depende do diâmetro das partículas e da sua dispersão e NÃO foi fornecida no enunciado). - Não usei diretamente o valor
porque a relação entre esse número e a definição de não é unívoca sem explicitar o que esse representa (volume total por kg até exaustão? vazão por massa de leito?); se o enunciado queria que ele fosse usado de forma específica, deveria ficar explícito. Se você souber o significado exato desse posso incorporar sem problema.
- Usei o critério de breakthrough
-
Sensibilidade: se usássemos como critério
(10% — também presente na tabela em ), então
Ou seja, a escolha do critério altera o número final; por isso é vital declarar o critério de breakthrough numa prova.