Adsorção de n-butanol presente no ar ( 20^{\circ} \mathrm{C} ) foi estudada em uma pequena coluna de leito fixo com 10,16 \mathrm{~cm} de diâmetro e quantidade de carvão ativado de 300 g , que correspondem a 8 cm de altura de leito. Os dados a seguir foram obtidos de ensaios de adsorção realizados nas condições apresentadas anteriormente.
\mathbf{3 0 0 ~} \mathbf{g}
\mathbf{t}[\mathbf{h}] 1 1,5 2 2,4 2,8 3,3 4 5
\mathbf{c} / \mathbf{c}_{0} 0,005 0,01 0,027 0,05 0,1 0,2 0,29 0,56
Dados:
u_{0}=58 \mathrm{~cm} / \mathrm{s};
c_{0}=365 p p m;
\rho_{b}=0,461 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3};
\dot{V}=0,3402 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{kg} de alimentação
Qual a queda de pressão desse leito se a porosidade do mesmo é 0,42 , diâmetro e esfericidade da partícula de carvão de 3 mm e 0,9 , respectivamente?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
Dados fornecidos (peguei esses números do enunciado):
  • massa de carvão ativado: m=300\\ \mathrm{g}=0,3\\ \mathrm{kg}.
  • diâmetro da coluna: D=10,16\\ \mathrm{cm}=0,1016\\ \mathrm{m}.
  • altura do leito: H\approx8\\ \mathrm{cm}=0,08\\ \mathrm{m} (o enunciado diz que corresponde a 8 cm; vou calcular e confirmar).
  • velocidade superficial: u_0=58\\ \mathrm{cm/s}=0,58\\ \mathrm{m/s}.
  • porosidade do leito: \epsilon=0,42.
  • diâmetro da partícula: d_p=3\\ \mathrm{mm}=0,003\\ \mathrm{m}.
  • esfericidade da partícula: \phi_s=0,9 (a Ergun usará d_p efetivo; com esfericidade podemos comentar se fosse necessário ajustar).
  • densidade aparente do leito: \rho_b=0,461\\ \mathrm{g/cm^3}=461\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • fluxo específico fornecido no enunciado \dot{V}=0,3402\\ \mathrm{m^3/kg} (não será necessário porque já foi dado u_0 e dimensões da coluna).
O que é pedido:
  • “Qual a queda de pressão desse leito?” — ou seja, \Delta P ao longo do leito (em Pa, por exemplo).
Observação importante (necessária para resolver): o enunciado não dá explicitamente as propriedades do ar ( \rho e \mu) à temperatura 20^\circ\mathrm{C}. Vou usar os valores padrão do ar a 20^\circ\mathrm{C}:
  • densidade do ar: \rho=1,204\\ \mathrm{kg/m^3} (assumi esse valor; não foi fornecido),
  • viscosidade dinâmica do ar: \mu=1,81\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s} (assumi esse valor; não foi fornecido).
    Se forem usados valores diferentes para \rho ou \mu, a queda de pressão calculada muda. Não tenho como perguntar, por isso adotei essas propriedades padrão.

Passo 2

Confirmar geometria do leito (área da seção e altura calculada a partir da massa e da densidade aparente) — isso também serve de checagem.
Área da seção transversal da coluna:
A=\frac{\pi D^{2}}{4}.
Substituindo D=0,1016\\ \mathrm{m}:
A=\frac{\pi(0,1016)^{2}}{4}\approx0,008104\\ \mathrm{m^{2}}.
Volume do leito a partir da massa e da densidade aparente:
V_b=\frac{m}{\rho_b}=\frac{0,3}{461}\approx0,00065076\\ \mathrm{m^3}.
Altura do leito (checar com o que foi dado):
H=\frac{V_b}{A}\approx\frac{0,00065076}{0,008104}\approx0,0803\\ \mathrm{m}\approx8,03\\ \mathrm{cm},
o que coincide com os 8\\ \mathrm{cm} do enunciado. Vou usar L=H=0,0803\\ \mathrm{m} como comprimento do leito para o cálculo da queda de pressão.

Passo 3

Apresentar a equação que vamos usar e explicar cada termo.
Para leitos fixos de partículas irregulares/esféricas a escoamento de fluido gasoso costuma-se usar a equação de Ergun (combinação dos termos viscoso e inercial). A forma prática é:
\frac{\Delta P}{L}=\frac{150(1-\epsilon)^{2}\mu U}{\epsilon^{3}d_{p}^{2}}+\frac{1,75(1-\epsilon)\rho U^{2}}{\epsilon^{3}d_{p}}.
Explicação das variáveis (tudo em unidades SI):
  • \Delta P: queda de pressão ao longo do leito [Pa].
  • L: comprimento do leito utilizado (aqui L=H) [m].
  • \epsilon: porosidade do leito (adim.).
  • \mu: viscosidade dinâmica do fluido [Pa·s].
  • U: velocidade superficial (fluxo volumétrico dividido pela área) — aqui é u_0 [m/s].
  • d_p: diâmetro característico das partículas [m].
  • \rho: densidade do fluido [kg/m^3].
Observação sobre esfericidade: a Ergun original é para esferas; para partículas não esféricas pode-se usar um diâmetro hidráulico equivalente d_{p,eq}=d_p\phi_s ou ajustar coeficientes. Como a esfericidade \phi_s=0,9 está próxima de 1, o efeito é pequeno; vou usar d_p fornecido sem ajuste (isso é uma aproximação razoável). Se quiser que eu ajuste pelo fator de esfericidade, eu posso, mas não foi solicitado.

Passo 4

Calcular números intermediários úteis: \epsilon^3, (1-\epsilon), d_p^2, U^2, etc.
  • 1-\epsilon=1-0,42=0,58.
  • (1-\epsilon)^2=(0,58)^{2}=0,3364.
  • \epsilon^{3}=(0,42)^{3}=0,074088.
  • d_{p}^{2}=(0,003)^{2}=9{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}}.
  • U^{2}=(0,58)^{2}=0,3364\\ \mathrm{(m/s)^{2}}.
Propriedades do ar usadas (assumi):
  • \rho=1,204\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • \mu=1,81\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
Também calculo o número de Reynolds de partícula (útil para ver qual termo domina):
\mathrm{Re}_p=\frac{\rho U d_p}{\mu}=\frac{1,204\cdot0,58\cdot0,003}{1,81\times10^{-5}}.
Calculemos passo a passo:
  • numerador =1,204\cdot0,58\cdot0,003\approx0,00209496.
  • \mathrm{Re}_p\approx\frac{0,00209496}{1,81\times10^{-5}}\approx115{,}7.
Interpretação curta: \mathrm{Re}_p\approx116 indica regime onde tanto o termo viscoso quanto o inercial podem ser relevantes — daí faz sentido somar os dois termos da Ergun.

Passo 5

Calcular o termo viscoso (primeiro termo da Ergun) detalhadamente:
\text{termo}_\text{visc}=\frac{150(1-\epsilon)^{2}\mu U}{\epsilon^{3}d_{p}^{2}}.
Substituindo valores:
  • 150(1-\epsilon)^{2}=150\cdot0,3364=50,46.
  • \mu U=(1,81\times10^{-5})\cdot0,58\approx1,0498\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s\cdot m/s}.
  • numerador total =50,46\cdot1,0498\times10^{-5}\approx5,2973\times10^{-4}.
  • denominador =\epsilon^{3}d_{p}^{2}=0,074088\cdot9{,}0\times10^{-6}=6,66792\times10^{-7}.
Portanto
\text{termo}_\text{visc}\approx\frac{5,2973\times10^{-4}}{6,66792\times10^{-7}}\approx794{,}6\\ \mathrm{Pa/m}.

Passo 6

Calcular o termo inercial (segundo termo da Ergun) detalhadamente:
\text{termo}_\text{inerc}=\frac{1{,}75(1-\epsilon)\rho U^{2}}{\epsilon^{3}d_{p}}.
Substituindo valores:
  • 1{,}75(1-\epsilon)=1{,}75\cdot0,58=1{,}015.
  • \rho U^{2}=1,204\cdot0,3364\approx0,4042.
  • numerador total =1{,}015\cdot0,4042\approx0,4103.
  • denominador =\epsilon^{3}d_{p}=0,074088\cdot0,003=2,22264\times10^{-4}.
Portanto
\text{termo}_\text{inerc}\approx\frac{0,4103}{2,22264\times10^{-4}}\approx1846\\ \mathrm{Pa/m}.

Passo 7

Somar os dois termos para obter \Delta P/L e depois calcular \Delta P no leito de comprimento L.
\frac{\Delta P}{L}=\text{termo}_\text{visc}+\text{termo}_\text{inerc}\approx794{,}6+1846\approx2640{,}6\\ \mathrm{Pa/m}.
Multiplicando pelo comprimento do leito L=0,0803\\ \mathrm{m}:
\Delta P=\left(\frac{\Delta P}{L}\right)L\approx2640{,}6\cdot0,0803\approx212{,}1\\ \mathrm{Pa}.

Passo 8

Dar interpretação e conversões úteis (para leitura mais prática).
  • Resultado em pascal: \Delta P\approx212{,}1\\ \mathrm{Pa}.
  • Em kilopascal: \Delta P\approx0{,}212\\ \mathrm{kPa}.
  • Em milímetros de coluna d’água ( \mathrm{mmH_2O}): 1\\ \mathrm{Pa}\approx0{,}10197\\ \mathrm{mmH_2O}, logo
\Delta P\approx212{,}1\cdot0{,}10197\approx21{,}6\\ \mathrm{mmH_2O}.
Observação final: usei propriedades padrão do ar a 20^\circ\mathrm{C} ( \rho=1{,}204\\ \mathrm{kg/m^3}, \mu=1{,}81\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}). Se o enunciado pedir precisão maior ou usar outro gás/composição, deve-se substituir esses valores — o procedimento (Ergun) é o mesmo, apenas os números mudam.

Resposta

\Delta P\approx212{,}1\\ \mathrm{Pa} \,(\approx0{,}212\\ \mathrm{kPa},\;21{,}6\\ \mathrm{mmH_2O})

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