Verifique se as séries são convergentes ou divergentes através do Teste da Razão. Se o teste for inconclusivo, diga isso.
sumn=1^infty 2^n+53^n

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
sumn=1^infty2^n+53^n
usando o Teste da Razão, que exige definir an e calcular
L=limntoinftyl|an+1/anr|.

Passo 2

Definimos
an = 2^n+53^n
e então
an+1an = 2^n+1+53^n+12^n+53^n = 2^n+1+53^n+1cdot3^n2^n+5 = 13,2cdot2^n+52^n+5

Passo 3

Para achar o limite, note que 2^n domina o termo constante quando ntoinfty. Logo,
L=limntoinftyan+1an =13,limntoinfty2cdot2^n+52^n+5 =13cdot21 =23

Passo 4

Como L=tfrac23<1, o Teste da Razão garante que a série converge absolutamente e, portanto, converge.

Resposta

A série é convergente.

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