seção 22-4 Campo Elétrico Produzido por uma
Carga Pontual

-3 Qual é o módulo de uma carga pontual cujo campo elétrico a 50 cm de distância tem um módulo de 2,0 \mathrm{~N} / \mathrm{C} ?
-4 Qual é o módulo de uma carga pontual capaz de criar um campo elétrico de 1,00 \mathrm{~N} / \mathrm{C} em um ponto a 1,00 \mathrm{~m} de distância?
-5 O núcleo de um átomo de plutônio 239 contém 94 prótons. Suponha que o núcleo é uma esfera com 6,64 \mathrm{fm} de raio e que a carga dos prótons está distribuída uniformemente nessa esfera. Determine (a) o módulo e (b) o sentido (para dentro ou para fora) do campo elétrico produzido pelos prótons na superfície do núcleo.
  • 6 Duas partículas são mantidas fixas sobre o eixo x : a partícula 1, de carga -2,00 \times 10^{-7} \mathrm{C}, no ponto x=6,00 \mathrm{~cm}, e a partícula 2 , de carga +2,00 \times 10^{-7} \mathrm{C}, no ponto x=21,0 \mathrm{~cm}. Qual é o campo elétrico total a meio caminho entre as partículas, em termos dos vetores unitários?
    *7 Duas partículas são mantidas fixas sobre o eixo x : a partícula 1 , de carga q_{1}=2,1 \times 10^{-8} \mathrm{C}, no ponto x=20 \mathrm{~cm}, e a partícula 2. de carga q_{2}=-4,00 q_{1}, no ponto x=70 \mathrm{~cm}. Em que ponto do eixo x o campo elétrico total é nulo?

Passo 1

Vou listar claramente o que cada item pede e quais dados o enunciado fornece.
  • Problema 3: pede o módulo da carga pontual quando o campo elétrico a 50\\ \mathrm{cm} tem módulo 2{,}0\\ \mathrm{N/C}. Dados: distância r=50\\ \mathrm{cm} e campo E=2{,}0\\ \mathrm{N/C}.
  • Problema 4: pede o módulo da carga pontual que produz E=1{,}00\\ \mathrm{N/C} a 1{,}00\\ \mathrm{m}. Dados: r=1{,}00\\ \mathrm{m}, E=1{,}00\\ \mathrm{N/C}.
  • Problema 5: núcleo de plutônio-239 tem 94 prótons; supõe-se núcleo esférico com raio 6{,}64\\ \mathrm{fm} e carga dos prótons distribuída uniformemente na esfera. Pede-se: (a) o módulo e (b) o sentido (para dentro ou para fora) do campo elétrico na superfície do núcleo. Dados: número de prótons N_p=94, carga elementar e=1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{C}, raio R=6{,}64\\ \mathrm{fm}.
  • Problema 6: duas partículas sobre o eixo x: partícula 1 com q_1=-2{,}00\times10^{-7}\\ \mathrm{C} em x=6{,}00\\ \mathrm{cm}; partícula 2 com q_2=+2{,}00\times10^{-7}\\ \mathrm{C} em x=21{,}0\\ \mathrm{cm}. Pede-se o campo elétrico total a meio caminho entre as partículas, em termos do vetor unitário \hat{x}. Dados: q_1,q_2,x_1,x_2.
  • Problema 7: partículas sobre o eixo x: q_1=2{,}1\times10^{-8}\\ \mathrm{C} em x_1=20\\ \mathrm{cm} e q_2=-4{,}00\,q_1 em x_2=70\\ \mathrm{cm}. Pede-se o ponto no eixo x onde o campo elétrico total é nulo. Dados: q_1,q_2,x_1,x_2.
Observação: os valores numéricos associados às distâncias serão convertidos para metros quando necessário.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vou usar (mini-aula rápida e sem pulo de etapas):
  • Campo elétrico produzido por uma carga pontual q a uma distância r:
E=\frac{k\,|q|}{r^{2}},
onde k=8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}. Essa fórmula dá o módulo do campo. O sentido do vetor campo em um ponto é radial: para cargas positivas, o campo aponta para fora (afastando-se da carga); para cargas negativas, aponta para dentro (em direção à carga).
  • Superposição: o campo total produzido por várias cargas é a soma vetorial dos campos produzidos por cada carga individualmente. Em uma dimensão (eixo x) isso vira soma algébrica, respeitando os sinais/direções.
  • Campo devido a uma esfera uniformemente carregada:
    • Fora da esfera, a esfera comporta-se como se toda a carga estivesse concentrada no centro: E=\dfrac{kQ}{r^{2}} para r\ge R.
    • Na superfície ( r=R) aplica-se a mesma expressão com r=R.
    • O sentido é radial (para fora se Q>0).
Vou aplicar essas ideias em cada item.

Passo 3

Resolvendo o Problema 3 passo a passo.
Dados: r=50\\ \mathrm{cm}=0{,}50\\ \mathrm{m}, E=2{,}0\\ \mathrm{N/C}.
Usamos a relação entre E e q para carga pontual (rearranjando a fórmula para q):
E=\frac{k|q|}{r^{2}}\quad\Longrightarrow\quad |q|=\frac{E\,r^{2}}{k}.
Substituindo os valores (usando k=8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}):
|q|=\frac{(2{,}0)\,(0{,}50)^{2}}{8{,}99\times10^{9}}.
Calculemos passo a passo:
(0{,}50)^{2}=0{,}25,
\text{numerador}=2{,}0\times0{,}25=0{,}50,
|q|=\frac{0{,}50}{8{,}99\times10^{9}}.
Dividindo:
|q|\approx5{,}56\times10^{-11}\\ \mathrm{C}.
Interpretação: o problema pediu apenas o módulo, então esta é a resposta.

Passo 4

Resolvendo o Problema 4 passo a passo.
Dados: r=1{,}00\\ \mathrm{m}, E=1{,}00\\ \mathrm{N/C}.
Usamos a mesma fórmula rearranjada:
|q|=\frac{E\,r^{2}}{k}=\frac{(1{,}00)(1{,}00)^{2}}{8{,}99\times10^{9}}=\frac{1{,}00}{8{,}99\times10^{9}}.
Calculando:
|q|\approx1{,}11\times10^{-10}\\ \mathrm{C}.

Passo 5

Resolvendo o Problema 5: campo na superfície de um núcleo esférico uniformemente carregado.
Primeiro calculo da carga total dos prótons:
Q=N_{p}\,e=94\times(1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{C}).
Multiplicando:
Q=94\times1{,}602\times10^{-19}=150{,}588\times10^{-19}\\ \mathrm{C}=1{,}50588\times10^{-17}\\ \mathrm{C}.
Arredondando convenientemente para três algarismos significativos:
Q\approx1{,}51\times10^{-17}\\ \mathrm{C}.
Agora, para o campo na superfície r=R da esfera carregada uniformemente, como o ponto está na superfície (ou fora), vale:
E=\frac{k\,Q}{R^{2}}.
Converter R=6{,}64\\ \mathrm{fm}=6{,}64\times10^{-15}\\ \mathrm{m}.
Calculemos R^{2}:
R^{2}=(6{,}64\times10^{-15})^{2}=4{,}40896\times10^{-29}\\ \mathrm{m^{2}}.
Calculemos kQ:
kQ=(8{,}99\times10^{9})\times(1{,}50588\times10^{-17})\approx1{,}3543\times10^{-7}.
Agora:
E=\frac{1{,}3543\times10^{-7}}{4{,}40896\times10^{-29}}\approx3{,}07\times10^{21}\\ \mathrm{N/C}.
Sentido: como a carga total Q é positiva (são prótons), o campo na superfície aponta para fora (radialmente para fora).

Passo 6

Resolvendo o Problema 6: campo total a meio caminho entre duas cargas no eixo x.
Dados convertidos para metros:
x_{1}=6{,}00\\ \mathrm{cm}=0{,}060\\ \mathrm{m},\qquad q_{1}=-2{,}00\times10^{-7}\\ \mathrm{C},
x_{2}=21{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}210\\ \mathrm{m},\qquad q_{2}=+2{,}00\times10^{-7}\\ \mathrm{C}.
Meio caminho (ponto médio):
x_{\text{m}}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=\frac{0{,}060+0{,}210}{2}=0{,}135\\ \mathrm{m}.
Distâncias do ponto médio até cada carga:
r_{1}=|x_{\text{m}}-x_{1}|=0{,}135-0{,}060=0{,}075\\ \mathrm{m},
r_{2}=|x_{2}-x_{\text{m}}|=0{,}210-0{,}135=0{,}075\\ \mathrm{m}.
Ambas as distâncias iguais.
Calcule o módulo do campo produzido por cada carga (mesma magnitude porque |q_{1}|=|q_{2}| e r_{1}=r_{2}):
E_{\text{cada}}=\frac{k\,|q|}{r^{2}}=\frac{(8{,}99\times10^{9})(2{,}00\times10^{-7})}{(0{,}075)^{2}}.
Calcule:
(0{,}075)^{2}=0{,}005625,
k|q|=8{,}99\times10^{9}\times2{,}00\times10^{-7}=1{,}798\times10^{3},
E_{\text{cada}}=\frac{1{,}798\times10^{3}}{0{,}005625}\approx3{,}1956\times10^{5}\\ \mathrm{N/C}.
Agora determine os sentidos no ponto médio:
  • Para q_{1}=-2{,}00\times10^{-7}\\ \mathrm{C}: o campo aponta em direção à carga (campo aponta para cargas negativas). Como q_{1} está à esquerda do ponto médio, o campo devido a q_{1} aponta para a esquerda, isto é, em -\hat{x}.
  • Para q_{2}=+2{,}00\times10^{-7}\\ \mathrm{C}: o campo aponta para fora da carga positiva; como q_{2} está à direita do ponto médio, o campo em x_{\text{m}} aponta também para a esquerda (afasta-se de q_{2}, portanto aponta para o lado esquerdo). Logo ambos os campos têm a mesma direção (para a esquerda) e se somam.
Somando vetorialmente (em \hat{x}):
\vec{E}_{\text{total}}=( -E_{\text{cada}} - E_{\text{cada}} )\hat{x}=-2E_{\text{cada}}\,\hat{x}.
Numericamente:
\vec{E}_{\text{total}}\approx-2\times3{,}1956\times10^{5}\\ \hat{x}\\ \mathrm{N/C}\approx-6{,}39\times10^{5}\\ \hat{x}\\ \mathrm{N/C}.

Passo 7

Resolvendo o Problema 7: encontrar o ponto sobre o eixo x onde o campo total é nulo.
Dados (convertendo para metros):
q_{1}=2{,}1\times10^{-8}\\ \mathrm{C},\qquad x_{1}=20\\ \mathrm{cm}=0{,}20\\ \mathrm{m},
q_{2}=-4{,}00\,q_{1}=-4{,}00\times(2{,}1\times10^{-8})=-8{,}4\times10^{-8}\\ \mathrm{C},\qquad x_{2}=70\\ \mathrm{cm}=0{,}70\\ \mathrm{m}.
Estratégia: procurar um ponto x no eixo real tal que a soma algébrica dos campos (com sinal) seja zero. Primeiro analisar em que região esse ponto pode estar:
  • Região entre as cargas ( 0{,}20<x<0{,}70): para q_{1}>0 o campo devido a q_{1} em pontos à direita dele aponta para a direita; para q_{2}<0 o campo devido a q_{2} em pontos à esquerda dele aponta para a esquerda. Entre as cargas ambos os campos apontam na mesma direção (ambos para a direita ou ambos para a esquerda dependendo do subintervalo), então não há cancelamento entre sinais opostos. Portanto não existe ponto de campo nulo entre as cargas.
  • Região à esquerda de ambas ( x<0{,}20) ou à direita de ambas ( x>0{,}70) podem permitir cancelamento.
Vamos tentar a região à esquerda de ambas ( x<0{,}20). Nesse caso, para um ponto x com x<x_{1}<x_{2} as distâncias são x_{1}-x e x_{2}-x (positivas). Escrevendo a condição de cancelamento (somando as contribuições escalares com sinal em \hat{x}) e observando os sinais resultantes, chega-se à equação simples de módulos:
\frac{k\,q_{1}}{(x_{1}-x)^{2}}=\frac{k\,|q_{2}|}{(x_{2}-x)^{2}}.
O k cancela e, como |q_{2}|=4{,}00\,q_{1}, temos
\frac{1}{(x_{1}-x)^{2}}=\frac{4{,}00}{(x_{2}-x)^{2}}.
Tomando raiz positiva (distâncias positivas):
\frac{x_{2}-x}{x_{1}-x}=2.
Substituindo x_{1}=0{,}20 e x_{2}=0{,}70:
\frac{0{,}70-x}{0{,}20-x}=2.
Resolva algebricamente:
0{,}70-x=2(0{,}20-x)=0{,}40-2x,
0{,}70-x=0{,}40-2x\quad\Longrightarrow\quad -x+2x=0{,}40-0{,}70,
x=-0{,}30\\ \mathrm{m}.
Isso está na região x<0{,}20, logo é uma solução válida.
Checagem rápida para a região à direita de ambas ( x>0{,}70) produz a mesma equação numérica e conduz ao mesmo resultado algébrico que não satisfaz x>0{,}70, portanto não há solução nessa região. Conclusão: o ponto onde o campo é nulo é x=-0{,}30\\ \mathrm{m} (ou seja, -30\\ \mathrm{cm}), à esquerda das duas cargas.

Resposta

  1. 5{,}56\times10^{-11}\\ \mathrm{C}
  2. 1{,}11\times10^{-10}\\ \mathrm{C}
    5a) 3{,}07\times10^{21}\\ \mathrm{N/C}
    5b) Para fora (radialmente para fora da esfera)
  3. -6{,}39\times10^{5}\,\hat{x}\\ \mathrm{N/C}
  4. x=-0{,}30\\ \mathrm{m}

Exercícios relacionados