Seja
e
dois referenciais inercias na configuração usual, ou seja, com
se movendo com velocidade
em relação a
na direção positiva do eixo
, com os dois referenciais coincidindo
.
(a) Mostre que as equações de Lorentz para
e
podem ser escritas na forma
onde
. Lembre-se das relações
,
. Note que do ponto de vista formal, essas relações podem ser vistas como uma espécie de rotação no plano
de um ângulo
, de forma a manter invariante
.
(b) Prove as seguintes relações para o parâmetro hiperbólico
(também chamado de rapidez)
Lembre-se que
.
(c) Deduza a forma útil das transformações de Lorentz
e use isso para provar que elas formam um grupo, ou seja: a resultante de duas transformações de Lorentz é também uma transformação de Lorentz em si, existe uma tranformação identidade e todas transformação tem associada uma tranformação inversa.
(a) Mostre que as equações de Lorentz para
(b) Prove as seguintes relações para o parâmetro hiperbólico
(c) Deduza a forma útil das transformações de Lorentz
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, para a gente não se perder.
- Temos dois referenciais inerciais
e na configuração usual: move-se com velocidade em relação a na direção positiva de . - Os origens coincidem em
. - Trabalhamos em unidades com
.
O enunciado pede três coisas:
(a) mostrar que as equações usuais de Lorentz podem ser escritas como
(a) mostrar que as equações usuais de Lorentz podem ser escritas como
com
;
(b) provar as relações
onde
;
(c) deduzir as formas
e usar isso para provar que as transformações de Lorentz formam um grupo (fechamento/composição, identidade, inverso, associatividade).
Agora que está tudo explícito, começo a resolução passo a passo.
Passo 2
Lembrando a forma padrão da transformação de Lorentz (com
) entre
e
para um deslocamento ao longo de
:
onde
. Vou mostrar que existe um número real
tal que escrevemos essas mesmas fórmulas em termos de
e
.
Definição útil: as funções hiperbólicas são
Elas satisfazem a identidade fundamental
Vou escolher
tal que
Isso faz sentido porque
(velocidade menor que
), logo existe
com
.
Passo 3
A partir de
temos
. Substituindo na identidade
, obtemos
Logo
Usando
segue que
Agora reescrevo as fórmulas usuais de Lorentz usando
e
:
Isso prova a forma pedida em (a) com a escolha
.
(Comentário didático rápido: a ideia é que
é uma “rapidez” — um parâmetro aditivo das boosts — e
aparecem naturalmente porque a métrica de Minkowski tem assinatura com sinal trocado, dando identidades hiperbólicas em vez das trigonométricas normais.)
Passo 4
Agora deduzo a relação exponencial pedida em (b). Uso a identidade padrão das funções hiperbólicas:
Substituo
e
:
Multiplicando essas duas expressões:
o que é compatível com
. Para obter
isolado, divido as duas expressões ou tomo quadrado:
Como
é real,
, então
Isso conclui (b):
,
,
.
Passo 5
Agora deduzo as fórmulas em (c). Começo somando e subtraindo as expressões hiperbólicas que já temos:
Agrupando termos:
Usando
obtemos
De modo análogo,
E como
segue
Essas são exatamente as formas pedidas em (c).
Passo 6
Provo agora que as transformações de Lorentz (na direção
) formam um grupo. A ideia prática e muito conveniente é trabalhar com as combinações
e com o parâmetro
.
Considere duas boosts sucessivas: primeiro uma boost de rapidez
(velocidade
), depois outra de rapidez
(velocidade
). Aplicando as fórmulas em
:
Agora aplico a segunda boost aos primados:
Comparando com as fórmulas em (c) vemos que a combinação das duas boosts é uma boost com rapidez
Isto prova o fechamento: a composição de duas transformações de Lorentz é outra transformação de Lorentz (com rapidez somada).
Agora checo identidade e inverso:
- Identidade: escolher
. Como , das fórmulas em (c) vem e , portanto e . Logo é a transformação identidade. - Inverso: a inversa de uma boost de rapidez
é a boost de rapidez , já que e trocam de papel. Explicitamente, aplicar depois dá fator total sobre , recuperando as coordenadas iniciais. Em termos de velocidade, a inversa tem velocidade porque . - Associatividade: a composição corresponde à soma de números reais
, e a soma de reais é associativa; portanto a operação de composição de boosts é associativa.
Assim temos: fechamento, existência de identidade, existência de inverso e associatividade. Logo as boosts (transformações de Lorentz unidimensionais) formam um grupo abeliano cujo parâmetro de grupo é a rapidez
e a lei de composição é adição de rápidas. (Observação física útil: a fórmula de adição de velocidades surge da identidade hiperbólica
ou seja
.)
Resposta
(a)
com
.
(b)
(c) As transformações formam um grupo porque a composição corresponde à adição das rápidas
(fechamento),
é a identidade, a inversa é
, e a composição é associativa.
(b)
(c)