Uma partćula
(energia relativística
) colide com a partćula
(em repouso), produzindo partćulas
Calcule o limiar (isto é, a energia mńima) para que tal reação aconteça, em termos das várias massas das partćulas.
onde
.
Passo 1
O enunciado pede: calcular a energia mínima da partícula
(energia relativística
) no referencial do laboratório, onde a partícula
está em repouso, necessária para que a reação
ocorra. Os dados que temos:
- massas das partículas iniciais:
e . - massas das partículas finais:
. - definimos
como a soma das massas das partículas finais:
Pergunta concreta: achar
(energia total de
no laboratório, incluindo sua energia de repouso) tal que a reação seja energeticamente possível. O enunciado já sugere o resultado esperado:
Passo 2
Conceitos e ferramentas que vamos usar (explicadas de maneira simples):
- Quatro-momento: para cada partícula descreve energia e momento espacial juntos. Para uma partícula
usa-se (em unidades naturais com ). A norma quadrática do quatro-momento dá a massa:
Aqui
é a massa de repouso de
. Essa identidade é válida sempre.
- Invariante de Mandelstam
: a quantidade
é um escalar invariante (o mesmo em qualquer referencial) e representa o quadrado da energia total no centro-de-massa (CM) do sistema inicial:
Usar
é poderoso porque conecta facilmente referenciais.
- Condição de limiar (energia mínima): para que a reação ocorra com o mínimo de energia total disponível, os produtos devem ter o mínimo de energia cinética possível no CM. A configuração que dá isso é quando todos os
estão “parados” no referencial CM (ou seja, não há energia cinética residual entre eles) — nesse caso a energia total no CM é apenas a soma das energias de repouso:
Portanto, no limiar vale
.
Passo 3
Expressar
no referencial do laboratório (onde
está em repouso).
Por definição,
Por definição,
Usando
e
, obtemos
Agora avaliamos o produto escalar
no laboratório. Como
está em repouso, seu quatro-momento é
com
. Então
Substituindo em
dá
Observação didática:
aqui é a energia total relativística de
no laboratório (inclui massa de repouso de
e sua energia cinética). Não estamos usando momento explícito de
, apenas
, porque
tem
.
Passo 4
Aplicar a condição de limiar: no limiar os produtos têm energia total no CM igual a
, portanto
Igualando com a expressão obtida no referencial lab:
Aqui
é a energia total de
no laboratório no limiar — a incógnita que queremos achar.
Passo 5
Resolver a equação para
. Reorganizando:
Logo
Isto é exatamente a fórmula solicitada. Lembrete: estamos usando unidades naturais onde
. Se quiser voltar a unidades SI com
explícito, cada massa
deve ser substituída por
nas energias e na fórmula apareceriam fatores de
; porém a forma estrutural é análoga.
Passo 6
Interpretação física e observações úteis (para a prova):
- A razão pela qual
aparece como soma simples das massas finais é que, no CM no limiar, não há energia cinética residual entre os produtos; todos estão em repouso relativo — assim a energia total no CM é só a soma das energias de repouso . - A fórmula dá
como energia total de . Se a questão pedir a energia cinética mínima de no laboratório, basta subtrair a energia de repouso de :
- Verificação rápida de consistência: se
(caso em que finais são os mesmos tipos iniciais sem produção de massa extra), então — ou seja, não é necessário energia extra além da energia de repouso de (processo trivial). Se é maior, cresce. - Dica prática na prova: sempre escreva o invariante
e avalie no referencial mais simples (aqui o laboratório com em repouso é simples), depois imponha no limiar; isso evita contas com vários momentos vetoriais.