Uma partćula A (energia relativística E ) colide com a partćula B (em repouso), produzindo partćulas C_{1}, C_{2}, \cdots C_{n}
A+B \rightarrow C_{1}+C_{2}+\cdots+C_{n}
Calcule o limiar (isto é, a energia mńima) para que tal reação aconteça, em termos das várias massas das partćulas. \left[E_{\text {min }}=\frac{M^{2}-m_{A}^{2}-m_{B}^{2}}{2 m_{B}}\right], \quad onde \quad M=m_{1}+m_{2}+\cdots m_{n}.

Passo 1

O enunciado pede: calcular a energia mínima da partícula A (energia relativística E) no referencial do laboratório, onde a partícula B está em repouso, necessária para que a reação
A+B \rightarrow C_{1}+C_{2}+\cdots+C_{n}
ocorra. Os dados que temos:
  • massas das partículas iniciais: m_{A} e m_{B}.
  • massas das partículas finais: m_{1},m_{2},\dots,m_{n}.
  • definimos M como a soma das massas das partículas finais:
M = m_{1}+m_{2}+\cdots+m_{n}.
Pergunta concreta: achar E_{\min} (energia total de A no laboratório, incluindo sua energia de repouso) tal que a reação seja energeticamente possível. O enunciado já sugere o resultado esperado:
E_{\min}=\frac{M^{2}-m_{A}^{2}-m_{B}^{2}}{2 m_{B}}.

Passo 2

Conceitos e ferramentas que vamos usar (explicadas de maneira simples):
  • Quatro-momento: para cada partícula descreve energia e momento espacial juntos. Para uma partícula X usa-se p_X=(E_X,\vec{p}_X) (em unidades naturais com c=1). A norma quadrática do quatro-momento dá a massa:
p_X^2 = p_X\cdot p_X = E_X^2 - \vec{p}_X^{\,2} = m_X^2.
Aqui m_X é a massa de repouso de X. Essa identidade é válida sempre.
  • Invariante de Mandelstam s: a quantidade
s = (p_A+p_B)^2
é um escalar invariante (o mesmo em qualquer referencial) e representa o quadrado da energia total no centro-de-massa (CM) do sistema inicial:
\sqrt{s} = \text{energia total no CM}.
Usar s é poderoso porque conecta facilmente referenciais.
  • Condição de limiar (energia mínima): para que a reação ocorra com o mínimo de energia total disponível, os produtos devem ter o mínimo de energia cinética possível no CM. A configuração que dá isso é quando todos os C_i estão “parados” no referencial CM (ou seja, não há energia cinética residual entre eles) — nesse caso a energia total no CM é apenas a soma das energias de repouso:
\sqrt{s}_{\min} = M = \sum_{i=1}^{n} m_i.
Portanto, no limiar vale s = M^2.

Passo 3

Expressar s no referencial do laboratório (onde B está em repouso).
Por definição,
s=(p_A+p_B)^2 = p_A^2 + p_B^2 + 2 p_A\cdot p_B.
Usando p_A^2 = m_A^2 e p_B^2 = m_B^2, obtemos
s = m_A^2 + m_B^2 + 2 p_A\cdot p_B.
Agora avaliamos o produto escalar p_A\cdot p_B no laboratório. Como B está em repouso, seu quatro-momento é p_B=(E_B,\vec{0}) com E_B=m_B. Então
p_A\cdot p_B = E_A E_B - \vec{p}_A\cdot\vec{0} = E_A m_B.
Substituindo em s
s = m_A^2 + m_B^2 + 2 E_A m_B.
Observação didática: E_A aqui é a energia total relativística de A no laboratório (inclui massa de repouso de A e sua energia cinética). Não estamos usando momento explícito de A, apenas E_A, porque B tem \vec{p}_B=0.

Passo 4

Aplicar a condição de limiar: no limiar os produtos têm energia total no CM igual a M, portanto
s_{\min} = M^2.
Igualando com a expressão obtida no referencial lab:
M^2 = m_A^2 + m_B^2 + 2 E_{\min} m_B.
Aqui E_{\min} é a energia total de A no laboratório no limiar — a incógnita que queremos achar.

Passo 5

Resolver a equação para E_{\min}. Reorganizando:
2 E_{\min} m_B = M^2 - m_A^2 - m_B^2.
Logo
E_{\min} = \frac{M^2 - m_A^2 - m_B^2}{2 m_B}.
Isto é exatamente a fórmula solicitada. Lembrete: estamos usando unidades naturais onde c=1. Se quiser voltar a unidades SI com c explícito, cada massa m deve ser substituída por m c^2 nas energias e na fórmula apareceriam fatores de c^2; porém a forma estrutural é análoga.

Passo 6

Interpretação física e observações úteis (para a prova):
  • A razão pela qual M aparece como soma simples das massas finais é que, no CM no limiar, não há energia cinética residual entre os produtos; todos estão em repouso relativo — assim a energia total no CM é só a soma das energias de repouso m_i.
  • A fórmula dá E_{\min} como energia total de A. Se a questão pedir a energia cinética mínima K_{\min} de A no laboratório, basta subtrair a energia de repouso de A:
K_{\min} = E_{\min} - m_A = \frac{M^2 - m_A^2 - m_B^2}{2 m_B} - m_A.
  • Verificação rápida de consistência: se M = m_A + m_B (caso em que finais são os mesmos tipos iniciais sem produção de massa extra), então E_{\min} = m_A — ou seja, não é necessário energia extra além da energia de repouso de A (processo trivial). Se M é maior, E_{\min} cresce.
  • Dica prática na prova: sempre escreva o invariante s e avalie no referencial mais simples (aqui o laboratório com B em repouso é simples), depois imponha s=M^2 no limiar; isso evita contas com vários momentos vetoriais.

Resposta

E_{\min}=\frac{M^{2}-m_{A}^{2}-m_{B}^{2}}{2 m_{B}}.

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