Seção 3.1
Prove que uma recorrência de segunda ordem x_{n+2}=f\left(x_{n+1}, x_{n}\right), com condições iniciais x_{1}=a e x_{2}=b, tem sempre solução única.

Passo 1

O que o enunciado pede: provar que a recorrência de segunda ordem
x_{n+2}=f\bigl(x_{n+1},x_{n}\bigr)
com condições iniciais
x_{1}=a,\qquad x_{2}=b
tem sempre solução única.
Informações dadas (explicitadas):
\text{dado: }f\colon X\times X\to X\quad\text{(algum conjunto \(X\), por exemplo \(\mathbb{R}\))},
\text{condições iniciais: }x_{1}=a\in X,\;x_{2}=b\in X,çõ
\text{recorrência: }x_{n+2}=f\bigl(x_{n+1},x_{n}\bigr)\text{ para todo }n\ge1.ê
Pergunta precisa: mostrar que existe uma sequência (x_{n})_{n\ge1} em X que satisfaz essas equações para todo n, e que essa sequência é única (ou seja, não podem existir duas sequências distintas que satisfaçam a mesma recorrência e os mesmos valores iniciais).

Passo 2

Ideia do método (sem detalhes ainda): vamos construir a sequência termo a termo usando a fórmula dada (construção direta) e justificar rigorosamente por indução que esse processo define termos para todo n (existência). Depois usaremos indução também para mostrar que, se houvesse duas sequências que satisfazem a recorrência com as mesmas condições iniciais, elas coincidem em todos os termos (unicidade). Antes de aplicar a indução, explico a razão intuitiva: a recorrência diz que cada termo x_{n+2} é completamente determinado pelos dois termos anteriores x_{n+1} e x_n; portanto, conhecendo x_1 e x_2 podemos calcular x_3, depois x_4 etc. A indução formaliza essa ideia.

Passo 3

Construção explícita dos primeiros termos (mostrando o procedimento concreto que usaremos na prova por indução):
x_{1}=a,\qquad x_{2}=b.
Usando a recorrência para n=1 obtemos
x_{3}=f\bigl(x_{2},x_{1}\bigr)=f(b,a).
Para n=2 obtemos
x_{4}=f\bigl(x_{3},x_{2}\bigr),
e assim por diante. Em palavras: o valor de x_{3} é determinado unicamente por a e b; depois x_{4} é determinado por x_{3} e b, etc. Agora vamos formalizar essa construção para todos os n por indução.

Passo 4

Prova da existência por indução sobre n:
Base da indução: para n=1 e n=2 os termos x_{1}=a e x_{2}=b estão dados, logo existem.
Passo indutivo: suponha que para algum k\ge1 já foram definidos (existem) os termos x_{1},x_{2},\dots,x_{k+1} que satisfazem a recorrência sempre que aplicável até esse índice. Então a recorrência para n=k define
x_{k+2}=f\bigl(x_{k+1},x_{k}\bigr).
Como x_{k+1} e x_{k} existem pela hipótese indutiva e f é uma função que dá um elemento de X para cada par em X\times X, o valor x_{k+2} existe e é bem definido. Assim podemos construir x_{k+2}. Pelo princípio da indução, existe uma sequência (x_{n})_{n\ge1} em X definida para todo n que satisfaz as igualdades
x_{1}=a,\quad x_{2}=b,\quad x_{n+2}=f\bigl(x_{n+1},x_{n}\bigr)\\ \text{para todo }n\ge1.
Comentário intuitivo: a prova por indução formaliza o procedimento de calcular termo a termo; não precisamos de condições adicionais em f (como continuidade ou monotonia) para garantir existência — bastam que f realmente produza um elemento de X dado qualquer par em X\times X.

Passo 5

Prova da unicidade por indução:
Suponha que existam duas sequências (x_{n})_{n\ge1} e (y_{n})_{n\ge1} em X que ambas satisfazem
x_{1}=y_{1}=a,\qquad x_{2}=y_{2}=b,
e para todo n\ge1
x_{n+2}=f\bigl(x_{n+1},x_{n}\bigr),\qquad y_{n+2}=f\bigl(y_{n+1},y_{n}\bigr).
Queremos mostrar x_{n}=y_{n} para todo n.
Base da indução: para n=1 e n=2 temos x_{1}=y_{1} e x_{2}=y_{2} por hipótese.
Passo indutivo: suponha que x_{j}=y_{j} para todo j com 1\le j\le k+1. Então, usando a recorrência para n=k,
x_{k+2}=f\bigl(x_{k+1},x_{k}\bigr)=f\bigl(y_{k+1},y_{k}\bigr)=y_{k+2},
onde a igualdade do meio vem da hipótese indutiva x_{k+1}=y_{k+1} e x_{k}=y_{k}. Assim x_{k+2}=y_{k+2}. Pelo princípio da indução, x_{n}=y_{n} para todo n. Logo a sequência que satisfaça a recorrência e as condições iniciais é única.

Passo 6

Interpretação alternativa (útil para visualizar): podemos empacotar dois termos consecutivos num vetor
y_{n}=\bigl(x_{n+1},x_{n}\bigr)\in X\times X.
Defina F\colon X\times X\to X\times X por
F(u,v)=\bigl(f(u,v),u\bigr).
Então a recorrência equivale a
y_{n+1}=F(y_{n}),\qquad y_{1}=(b,a).
Como F é uma função bem definida, a iteração y_{2}=F(y_{1}),\;y_{3}=F(y_{2}),\dots produz de forma única a órbita (y_{n}), e daí recuperamos (x_{n}). Essa é a mesma prova, vista como iteração de uma aplicação determinística de primeira ordem em espaço de dimensão 2.

Passo 7

Observações finais e incentivo:
  • Não precisamos de hipóteses extras sobre f além de ser uma função f\colon X\times X\to X: a definição de função garante que dado um par (u,v) existe um e apenas um valor f(u,v), portanto a construção termo a termo é bem determinada.
  • O argumento por indução é rotineiro: construir por passos (existência) e provar que qualquer outra construção coincide com a nossa (unicidade).
  • Se quiser, posso reescrever a prova em linguagem mais formal (usando notação de conjuntos e função) ou mostrar o análogo para recorrências de ordem k. Força aí — você já tem o esqueleto que cai em qualquer prova parecida!

Resposta

Existe uma e apenas uma sequência (x_{n})_{n\ge1} em X tal que x_{1}=a,\;x_{2}=b e x_{n+2}=f\bigl(x_{n+1},x_{n}\bigr) para todo n\ge1.

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