Seção 3.1
Prove que uma recorrência de segunda ordem
, com condições iniciais
e
, tem sempre solução única.
Prove que uma recorrência de segunda ordem
Passo 1
O que o enunciado pede: provar que a recorrência de segunda ordem
com condições iniciais
tem sempre solução única.
Informações dadas (explicitadas):
Pergunta precisa: mostrar que existe uma sequência
em
que satisfaz essas equações para todo
, e que essa sequência é única (ou seja, não podem existir duas sequências distintas que satisfaçam a mesma recorrência e os mesmos valores iniciais).
Passo 2
Ideia do método (sem detalhes ainda): vamos construir a sequência termo a termo usando a fórmula dada (construção direta) e justificar rigorosamente por indução que esse processo define termos para todo
(existência). Depois usaremos indução também para mostrar que, se houvesse duas sequências que satisfazem a recorrência com as mesmas condições iniciais, elas coincidem em todos os termos (unicidade). Antes de aplicar a indução, explico a razão intuitiva: a recorrência diz que cada termo
é completamente determinado pelos dois termos anteriores
e
; portanto, conhecendo
e
podemos calcular
, depois
etc. A indução formaliza essa ideia.
Passo 3
Construção explícita dos primeiros termos (mostrando o procedimento concreto que usaremos na prova por indução):
Usando a recorrência para
obtemos
Para
obtemos
e assim por diante. Em palavras: o valor de
é determinado unicamente por
e
; depois
é determinado por
e
, etc. Agora vamos formalizar essa construção para todos os
por indução.
Passo 4
Prova da existência por indução sobre
:
Base da indução: para
e
os termos
e
estão dados, logo existem.
Passo indutivo: suponha que para algum
já foram definidos (existem) os termos
que satisfazem a recorrência sempre que aplicável até esse índice. Então a recorrência para
define
Como
e
existem pela hipótese indutiva e
é uma função que dá um elemento de
para cada par em
, o valor
existe e é bem definido. Assim podemos construir
. Pelo princípio da indução, existe uma sequência
em
definida para todo
que satisfaz as igualdades
Comentário intuitivo: a prova por indução formaliza o procedimento de calcular termo a termo; não precisamos de condições adicionais em
(como continuidade ou monotonia) para garantir existência — bastam que
realmente produza um elemento de
dado qualquer par em
.
Passo 5
Prova da unicidade por indução:
Suponha que existam duas sequências
e
em
que ambas satisfazem
e para todo
Queremos mostrar
para todo
.
Base da indução: para
e
temos
e
por hipótese.
Passo indutivo: suponha que
para todo
com
. Então, usando a recorrência para
,
onde a igualdade do meio vem da hipótese indutiva
e
. Assim
. Pelo princípio da indução,
para todo
. Logo a sequência que satisfaça a recorrência e as condições iniciais é única.
Passo 6
Interpretação alternativa (útil para visualizar): podemos empacotar dois termos consecutivos num vetor
Defina
por
Então a recorrência equivale a
Como
é uma função bem definida, a iteração
produz de forma única a órbita
, e daí recuperamos
. Essa é a mesma prova, vista como iteração de uma aplicação determinística de primeira ordem em espaço de dimensão 2.
Passo 7
Observações finais e incentivo:
- Não precisamos de hipóteses extras sobre
além de ser uma função : a definição de função garante que dado um par existe um e apenas um valor , portanto a construção termo a termo é bem determinada. - O argumento por indução é rotineiro: construir por passos (existência) e provar que qualquer outra construção coincide com a nossa (unicidade).
- Se quiser, posso reescrever a prova em linguagem mais formal (usando notação de conjuntos e função) ou mostrar o análogo para recorrências de ordem
. Força aí — você já tem o esqueleto que cai em qualquer prova parecida!
Resposta
Existe uma e apenas uma sequência
em
tal que
e
para todo
.