Seção 3.1
Prove que uma recorrência de primeira ordem,
, com uma condição inicial
, tens sempre uma solução.
Prove que uma recorrência de primeira ordem,
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que dada a recorrência de primeira ordem
com condição inicial
Passo 2
Para aplicar a indução, primeiro verificamos a base. Para
, o enunciado já nos dá
. Logo, existe (e está bem definido) o termo inicial da sequência.
Passo 3
Agora vem o passo indutivo. Suponha que para algum
já tenhamos definido
. Como
mapeia um elemento em outro (digamos num conjunto
em que
e
), podemos então definir
Isso mostra que se
Passo 4
Pelo princípio da indução, a partir da base
e do passo indutivo conseguimos definir unicamente todos os termos
. Portanto, sempre há uma solução (única) para a recorrência de primeira ordem dada.
Resposta
A solução existe e é única, sendo dada por iterar
sobre o valor inicial. Em particular,
para todo