Seção 3.1
Prove que uma recorrência de primeira ordem, xn+1=f(xn), com uma condição inicial x1=a, tens sempre uma solução.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que dada a recorrência de primeira ordem
xn+1=f(xn),
com condição inicial x1=a, sempre podemos definir uma sequência (xn)n>=1 que satisfaz essa relação. O conteúdo principal aqui é o princípio da indução matemática: ele vai nos permitir construir cada termo da sequência passo a passo.

Passo 2

Para aplicar a indução, primeiro verificamos a base. Para n=1, o enunciado já nos dá x1=a. Logo, existe (e está bem definido) o termo inicial da sequência.

Passo 3

Agora vem o passo indutivo. Suponha que para algum k>=1 já tenhamos definido xk. Como f mapeia um elemento em outro (digamos num conjunto S em que ain S e f:Sto S), podemos então definir
xk+1=f(xk)
Isso mostra que se xk existe, então xk+1 também existe.

Passo 4

Pelo princípio da indução, a partir da base x1=a e do passo indutivo conseguimos definir unicamente todos os termos x2,x3,dots. Portanto, sempre há uma solução (única) para a recorrência de primeira ordem dada.

Resposta

A solução existe e é única, sendo dada por iterar f sobre o valor inicial. Em particular,
xn=f^n-1(a)
para todo n>=1, onde f^n-1 é a composição de f consigo mesma n-1 vezes.

Exercícios relacionados