Seção 3.1
Se x_{n+1}=2 x_{n} e x_{1}=3, determine x_{n}.

Passo 1

O enunciado dá uma sequência definida recorrentemente. Informações fornecidas:
\;x_{n+1}=2\,x_{n} para todo n (a regra de recorrência).
\;x_{1}=3 (valor inicial).
O que o problema pede: determinar uma fórmula explícita para x_{n} — isto é, escrever x_{n} em função de n sem usar a recorrência.

Passo 2

Vamos calcular os primeiros termos aplicando a recorrência passo a passo, para enxergar um padrão.
Calculemos:
x_{2}=2\,x_{1}=2\cdot 3=6,
x_{3}=2\,x_{2}=2\cdot 6=12,
x_{4}=2\,x_{3}=2\cdot 12=24.
Portanto os primeiros termos são \;3,\,6,\,12,\,24,\dots. Perceba que cada termo é obtido multiplicando o anterior por 2.

Passo 3

Agora uma pequena aula: o que é uma progressão geométrica (sequência geométrica)?
Uma sequência \;a_1,a_2,a_3,\dots é geométrica se existe uma constante r (a razão) tal que
a_{k+1}=r\,a_{k}\quad\text{para todo }k.
O termo geral de uma sequência geométrica com primeiro termo a_1 e razão r é
a_{n}=a_{1}\,r^{\,n-1}.
Aqui cada passo multiplica por r, então depois de n-1 passos multiplicamos por r^{n-1}.

Passo 4

Comparando com o nosso caso, vemos que a sequência dada satisfaz exatamente a definição de progressão geométrica com:
a_{1}=x_{1}=3\quad\text{e}\quad r=2.
Pelo resultado da Passo 3, o termo geral (a forma explícita) deve ter a forma a_{n}=a_{1}\,r^{n-1}. Aplicando a_{1}=3 e r=2, obtemos a expressão procurada.

Passo 5

Vamos dar uma prova curta por indução, para garantir que a fórmula vale para todo n.
Base ( n=1): Pela condição inicial, x_{1}=3. A fórmula proposta dá 3\cdot 2^{1-1}=3\cdot 2^{0}=3, ok.
Passo indutivo: suponha que para algum n vale x_{n}=3\cdot 2^{n-1}. Então, usando a recorrência,
x_{n+1}=2\,x_{n}=2\cdot\bigl(3\cdot 2^{n-1}\bigr)=3\cdot 2^{n},
ou seja x_{n+1}=3\cdot 2^{(n+1)-1}. Assim a propriedade vale para n+1. Pela indução matemática, vale para todo n\in\mathbb{N}.

Passo 6

Exemplos rápidos para fixar (sem calculadora, só potências de 2):
x_{5}=3\cdot 2^{4}=3\cdot 16=48,
x_{10}=3\cdot 2^{9}=3\cdot 512=1536.
Dica prática na prova: ao ver uma recorrência do tipo x_{n+1}=c\,x_{n} com x_{1}=a, já reconheça como sequência geométrica e escreva x_{n}=a\,c^{n-1}.

Resposta

\;x_{n}=3\cdot 2^{\,n-1}

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