Seção 3.1
Se
e
, determine
.
Se
Passo 1
O enunciado dá uma sequência definida recorrentemente. Informações fornecidas:
para todo
(a regra de recorrência).
(valor inicial).
O que o problema pede: determinar uma fórmula explícita para — isto é, escrever
em função de
sem usar a recorrência.
O que o problema pede: determinar uma fórmula explícita para
Passo 2
Vamos calcular os primeiros termos aplicando a recorrência passo a passo, para enxergar um padrão.
Calculemos:
Calculemos:
Portanto os primeiros termos são
. Perceba que cada termo é obtido multiplicando o anterior por
.
Passo 3
Agora uma pequena aula: o que é uma progressão geométrica (sequência geométrica)?
Uma sequência é geométrica se existe uma constante
(a razão) tal que
Uma sequência
O termo geral de uma sequência geométrica com primeiro termo
e razão
é
Aqui cada passo multiplica por
, então depois de
passos multiplicamos por
.
Passo 4
Comparando com o nosso caso, vemos que a sequência dada satisfaz exatamente a definição de progressão geométrica com:
Pelo resultado da Passo 3, o termo geral (a forma explícita) deve ter a forma
. Aplicando
e
, obtemos a expressão procurada.
Passo 5
Vamos dar uma prova curta por indução, para garantir que a fórmula vale para todo
.
Base ( ): Pela condição inicial,
. A fórmula proposta dá
, ok.
Passo indutivo: suponha que para algum vale
. Então, usando a recorrência,
Base (
Passo indutivo: suponha que para algum
ou seja
. Assim a propriedade vale para
. Pela indução matemática, vale para todo
.
Passo 6
Exemplos rápidos para fixar (sem calculadora, só potências de
):
Dica prática na prova: ao ver uma recorrência do tipo
com
, já reconheça como sequência geométrica e escreva
.