Uma seção de viga retangular de dimensões h=32 cm e b=15 cm tem as tensões normais nas fibras inferior e superior iguais a sigma inf =9 MPa e sigma sup =-29 MPa respectivamente, devido a ação de uma carga excêntrica em relação ao centróide da seção (carga aplicada sobre o eixo central vertical). Determinar o valor da carga e a sua excentricidade em relação ao centróide da seção.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma viga retangular com altura $ h = 32 $ cm e largura $ b = 15 $ cm. As tensões normais nas fibras inferior e superior são $ \sigma_{inf} = 9 $ MPa e $ \sigma_{sup} = -29 $ MPa, respectivamente. Isso aconteceu porque uma carga foi aplicada de forma excêntrica, ou seja, não exatamente no centro da seção. Nosso objetivo aqui é descobrir qual foi o valor dessa carga $ P $ e quanta foi sua excentricidade $ e $ em relação ao centróide da seção. Vamos usar conceitos de Resistência dos Materiais, especificamente sobre tensões em vigas submetidas a cargas excêntricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que quando uma carga $ P $ é aplicada de forma excêntrica em uma viga, ela gera duas coisas: uma tensão normal devido à força axial e uma tensão devido ao momento fletor causado pela excentricidade. As tensões nas fibras superior e inferior serão a soma dessas duas contribuições.
A tensão total em uma fibra pode ser expressa pela fórmula:
P ã
Onde:
  • $ \sigma_{axial} = \frac{P}{A} $ é a tensão devido à força axial.
  • $ \sigma_{flexão} = \frac{M \cdot y}{I} $ é a tensão devido ao momento fletor, com $ y $ sendo a distância do centróide à fibra e $ I $ o momento de inércia da seção.

Passo 3

Vamos calcular a área $ A $ da seção retangular:
A
Também precisamos calcular o momento de inércia $ I $ para a seção retangular em relação ao eixo neutro (centróide):
A = b cdot h = 15 , cm times 32 , cm = 480 , cm^2

Passo 4

A distância $ y $ do centróide até as fibras superior ou inferior é metade da altura:
y

Passo 5

Agora, temos as duas equações para as tensões nas fibras superior e inferior:
Para a fibra inferior:
sigmainf = PA - M cdot yI
Para a fibra superior:
sigmasup = PA + M cdot yI
Podemos reescrever essas equações colocando em evidência $ \frac{P}{A} $ e $ \frac{M \cdot y}{I} $:
PA
M cdot yI

Passo 6

Vamos calcular $ \frac{P}{A} $:
PA
Lembrando que $ 1 , MPa = 1 , N/mm^2 $, mas vamos manter as unidades em MPa para facilitar.

Passo 7

Agora, calculamos $ \frac{M \cdot y}{I} $:
M cdot yI

Passo 8

Vamos agora encontrar a carga $ P $ usando $ \frac{P}{A} = -10 , MPa $:
P
O sinal negativo indica que a direção da carga está oposta à convenção adotada, mas vamos considerar apenas o valor absoluto:
PA = -10 , MPa

Passo 9

Agora, vamos encontrar o momento $ M $ usando $ \frac{M \cdot y}{I} = -19 , MPa $:
M
Convertendo para N.m:
M cdot yI = -19 , MPa

Passo 10

Por fim, vamos determinar a excentricidade $ e $ usando a relação entre momento, carga e excentricidade:
e

Resposta

A carga aplicada é de $ 4800 , N $ e a sua excentricidade em relação ao centróide da seção é de aproximadamente $ 10.13 , cm $.

Exercícios relacionados