Uma seção de viga retangular de dimensões
e
tem as tensões normais nas fibras inferior e superior iguais a
e
respectivamente, devido a ação de uma carga excêntrica em relação ao centróide da seção (carga aplicada sobre o eixo central vertical). Determinar o valor da carga e a sua excentricidade em relação ao centróide da seção.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma viga retangular com altura $ h = 32 $ cm e largura $ b = 15 $ cm. As tensões normais nas fibras inferior e superior são $ \sigma_{inf} = 9 $ MPa e $ \sigma_{sup} = -29 $ MPa, respectivamente. Isso aconteceu porque uma carga foi aplicada de forma excêntrica, ou seja, não exatamente no centro da seção. Nosso objetivo aqui é descobrir qual foi o valor dessa carga $ P $ e quanta foi sua excentricidade $ e $ em relação ao centróide da seção. Vamos usar conceitos de Resistência dos Materiais, especificamente sobre tensões em vigas submetidas a cargas excêntricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que quando uma carga $ P $ é aplicada de forma excêntrica em uma viga, ela gera duas coisas: uma tensão normal devido à força axial e uma tensão devido ao momento fletor causado pela excentricidade. As tensões nas fibras superior e inferior serão a soma dessas duas contribuições.
A tensão total em uma fibra pode ser expressa pela fórmula:
Onde:
- $ \sigma_{axial} = \frac{P}{A} $ é a tensão devido à força axial.
- $ \sigma_{flexão} = \frac{M \cdot y}{I} $ é a tensão devido ao momento fletor, com $ y $ sendo a distância do centróide à fibra e $ I $ o momento de inércia da seção.
Passo 3
Vamos calcular a área $ A $ da seção retangular:
Também precisamos calcular o momento de inércia $ I $ para a seção retangular em relação ao eixo neutro (centróide):
Passo 4
A distância $ y $ do centróide até as fibras superior ou inferior é metade da altura:
Passo 5
Agora, temos as duas equações para as tensões nas fibras superior e inferior:
Para a fibra inferior:
Para a fibra superior:
Podemos reescrever essas equações colocando em evidência $ \frac{P}{A} $ e $ \frac{M \cdot y}{I} $:
Passo 6
Vamos calcular $ \frac{P}{A} $:
Lembrando que $ 1 , MPa = 1 , N/mm^2 $, mas vamos manter as unidades em MPa para facilitar.
Passo 7
Agora, calculamos $ \frac{M \cdot y}{I} $:
Passo 8
Vamos agora encontrar a carga $ P $ usando $ \frac{P}{A} = -10 , MPa $:
O sinal negativo indica que a direção da carga está oposta à convenção adotada, mas vamos considerar apenas o valor absoluto:
Passo 9
Agora, vamos encontrar o momento $ M $ usando $ \frac{M \cdot y}{I} = -19 , MPa $:
Convertendo para N.m:
Passo 10
Por fim, vamos determinar a excentricidade $ e $ usando a relação entre momento, carga e excentricidade:
Resposta
A carga aplicada é de $ 4800 , N $ e a sua excentricidade em relação ao centróide da seção é de aproximadamente $ 10.13 , cm $.