- A secção meridiana de um cone equilátero tem perímetro igual a 30 cm . A área lateral do cone, em
, é igual a
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado diz que a secção meridiana de um cone equilátero tem perímetro igual a
cm e pede a área lateral do cone, em
.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- A secção meridiana é um triângulo equilátero (porque o cone é dito “equilátero”).
- O perímetro desse triângulo é
cm. - Precisamos encontrar a área lateral do cone (unidade:
).
Passo 2
Primeiro passo prático: achar o lado do triângulo equilátero que é a secção meridiana. Num triângulo equilátero todos os três lados são iguais, então cada lado vale o perímetro dividido por
. Logo:
Então o triângulo meridiano tem cada lado igual a
cm.
Passo 3
Agora faço a ligação entre o triângulo meridiano e as dimensões do cone. Num cone reto, a secção meridiana feita por um plano que contém o eixo é um triângulo isósceles cujos dois lados iguais são as geratrizes (o comprimento da superfície lateral, chamado de
, a “slant height”) e a base é o diâmetro da base do cone (ou seja,
, onde
é o raio da base). Como aqui esse triângulo é equilátero, todos os três lados são iguais. Portanto:
- a geratriz
é igual a cm, - a base do triângulo é
cm, logo o raio é
Passo 4
Breve verificação conceitual (pra você entender e poder usar em prova): se o triângulo meridiano é equilátero com lado
, então
,
e a altura do triângulo (que corresponde à altura
do cone) é
. Isso satisfaz a relação pitagórica
. No nosso caso, com
, a conta bate:
, o que confirma consistência.
Passo 5
Agora precisamos da fórmula da área lateral do cone. Vou explicar por que ela é
, para você decorar com entendimento. Pense na superfície lateral do cone: ao “abrir” essa superfície lateral ela vira um setor circular de raio
(o setor vem de um círculo de raio
). O comprimento do arco desse setor é igual à circunferência da base do cone, que é
. A área de um setor circular de raio
com arco de comprimento
é
. Aqui
, então:
Essa é a fórmula que usaremos:
.
Passo 6
Substituo os valores que já achei:
cm e
cm. Então:
Calculei passo a passo:
, e a constante
fica multiplicando.
Passo 7
Resumo e dica de prova: sempre identifique o que a secção meridiana representa (base =
, lados =
). Se disser “cone equilátero”, entenda que esse triângulo meridiano é equilátero, então todos os lados são iguais — daí sai rapidamente
e
. A fórmula prática que você precisa lembrar é
.
Resposta
b)