1. A secção meridiana de um cone equilátero tem perímetro igual a 30 cm . A área lateral do cone, em \mathrm{cm}^{2}, é igual a
    a) 250 \pi
    b) 50 \pi
    c) 25 \pi
    d) 100 \pi

Passo 1

O enunciado diz que a secção meridiana de um cone equilátero tem perímetro igual a 30 cm e pede a área lateral do cone, em \mathrm{cm}^2.
Informações relevantes dadas:
  • A secção meridiana é um triângulo equilátero (porque o cone é dito “equilátero”).
  • O perímetro desse triângulo é 30 cm.
  • Precisamos encontrar a área lateral do cone (unidade: \mathrm{cm}^2).

Passo 2

Primeiro passo prático: achar o lado do triângulo equilátero que é a secção meridiana. Num triângulo equilátero todos os três lados são iguais, então cada lado vale o perímetro dividido por 3. Logo:
\text{lado} = \frac{30}{3} = 10\\ \text{cm}.
Então o triângulo meridiano tem cada lado igual a 10 cm.

Passo 3

Agora faço a ligação entre o triângulo meridiano e as dimensões do cone. Num cone reto, a secção meridiana feita por um plano que contém o eixo é um triângulo isósceles cujos dois lados iguais são as geratrizes (o comprimento da superfície lateral, chamado de l, a “slant height”) e a base é o diâmetro da base do cone (ou seja, 2r, onde r é o raio da base). Como aqui esse triângulo é equilátero, todos os três lados são iguais. Portanto:
  • a geratriz l é igual a 10 cm,
  • a base do triângulo é 2r = 10 cm, logo o raio é
r = \frac{10}{2} = 5\\ \text{cm}.

Passo 4

Breve verificação conceitual (pra você entender e poder usar em prova): se o triângulo meridiano é equilátero com lado a, então l=a, 2r=a e a altura do triângulo (que corresponde à altura h do cone) é h=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}. Isso satisfaz a relação pitagórica l^2=r^2+h^2. No nosso caso, com a=10, a conta bate: 10^2=(5)^2+(\tfrac{10\sqrt{3}}{2})^2, o que confirma consistência.

Passo 5

Agora precisamos da fórmula da área lateral do cone. Vou explicar por que ela é \pi r l, para você decorar com entendimento. Pense na superfície lateral do cone: ao “abrir” essa superfície lateral ela vira um setor circular de raio l (o setor vem de um círculo de raio l). O comprimento do arco desse setor é igual à circunferência da base do cone, que é 2\pi r. A área de um setor circular de raio l com arco de comprimento s é \dfrac{s\cdot l}{2}. Aqui s=2\pi r, então:
\text{área lateral} = \frac{2\pi r \cdot l}{2} = \pi r l.á
Essa é a fórmula que usaremos: \displaystyle A_{\text{lat}}=\pi r l.

Passo 6

Substituo os valores que já achei: r=5 cm e l=10 cm. Então:
A_{\text{lat}} = \pi \cdot 5 \cdot 10 = 50\pi\\ \mathrm{cm}^2.
Calculei passo a passo: 5\cdot10=50, e a constante \pi fica multiplicando.

Passo 7

Resumo e dica de prova: sempre identifique o que a secção meridiana representa (base = 2r, lados = l). Se disser “cone equilátero”, entenda que esse triângulo meridiano é equilátero, então todos os lados são iguais — daí sai rapidamente r e l. A fórmula prática que você precisa lembrar é \displaystyle A_{\text{lat}}=\pi r l.

Resposta

b) 50\pi

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