1. A razão entre a área total e a área lateral de um cone equilátero é
    a) \frac{1}{2}
    b) 2 / 3
    c) 1
    d) 3 / 2
    e) 2

Passo 1

O enunciado pede a razão entre a área total e a área lateral de um cone equilátero. Informações dadas (ou que adotaremos como definição padrão aqui):
  • Temos um cone circular reto com raio da base r, geratriz (slant height) l e altura h.
  • A área lateral do cone é a área da superfície lateral (sem a base).
  • A área total do cone é a soma da área lateral com a área da base.
  • Vou usar a definição usual de “cone equilátero”: a seção meridiana (o triângulo formado pelo eixo e uma geratriz) é um triângulo equilátero. Nessa seção, a base do triângulo tem comprimento 2r (diâmetro da base do cone) e os outros dois lados têm comprimento l (as geratrizes). Portanto, para um cone equilátero vale l = 2r.
    A pergunta concreta: calcular
\text{razão}=\frac{\text{área total}}{\text{área lateral}}.ãáá

Passo 2

Vamos lembrar e explicar as fórmulas das áreas que vamos usar. Primeiro, a área lateral A_L de um cone circular reto pode ser entendida assim: se abrirmos a superfície lateral do cone, obtemos um setor circular de raio l (a geratriz) cuja circunferência do arco é igual à circunferência da base do cone, isto é 2\pi r. A área de um setor circular de raio l com comprimento de arco 2\pi r é
A_L = \frac{1}{2}\times (\text{raio do setor}) \times (\text{comprimento do arco}) = \frac{1}{2}\times l \times 2\pi r = \pi r l.
Aqui expliquei cada símbolo: \pi é a constante, r é o raio da base e l é a geratriz (slant height).

Passo 3

A área da base A_B do cone é a área de um círculo de raio r. A fórmula é a conhecida:
A_B = \pi r^2.
Então a área total A_T do cone é a soma da área lateral com a da base:
A_T = A_L + A_B = \pi r l + \pi r^2 = \pi r (l + r).

Passo 4

Agora usemos a condição do cone equilátero que listamos no Passo 1. Na seção axial (o triângulo que aparece cortando o cone pelo eixo), os lados são l, l e a base é 2r. Se esse triângulo é equilátero, todos os lados são iguais, portanto
l = 2r.
Isso é só a tradução direta da definição: o lado do triângulo (que é a geratriz) é igual à base do triângulo (o diâmetro da base do cone).

Passo 5

Vamos substituir l = 2r nas fórmulas das áreas. Primeiro a área lateral:
A_L = \pi r l = \pi r (2r) = 2\pi r^2.
Em seguida a área total:
A_T = \pi r (l + r) = \pi r (2r + r) = \pi r (3r) = 3\pi r^2.

Passo 6

Agora calculamos a razão pedida:
\frac{A_T}{A_L}=\frac{3\pi r^2}{2\pi r^2}.
Cancelamos \pi r^2 no numerador e no denominador (isso é permitido desde que r>0, e um cone tem raio positivo), obtendo
\frac{A_T}{A_L}=\frac{3}{2}.

Passo 7

Interpretação final: a razão entre a área total e a área lateral de um cone cuja seção axial é um triângulo equilátero (ou seja, l=2r) é \dfrac{3}{2}. Isso corresponde à alternativa (d).

Resposta

d) \dfrac{3}{2}

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