- A razão entre a área total e a área lateral de um cone equilátero é
a)
b)
c) 1
d)
e) 2
a)
b)
c) 1
d)
e) 2
Passo 1
O enunciado pede a razão entre a área total e a área lateral de um cone equilátero. Informações dadas (ou que adotaremos como definição padrão aqui):
- Temos um cone circular reto com raio da base
, geratriz (slant height) e altura . - A área lateral do cone é a área da superfície lateral (sem a base).
- A área total do cone é a soma da área lateral com a área da base.
- Vou usar a definição usual de “cone equilátero”: a seção meridiana (o triângulo formado pelo eixo e uma geratriz) é um triângulo equilátero. Nessa seção, a base do triângulo tem comprimento
(diâmetro da base do cone) e os outros dois lados têm comprimento (as geratrizes). Portanto, para um cone equilátero vale .
A pergunta concreta: calcular
Passo 2
Vamos lembrar e explicar as fórmulas das áreas que vamos usar. Primeiro, a área lateral
de um cone circular reto pode ser entendida assim: se abrirmos a superfície lateral do cone, obtemos um setor circular de raio
(a geratriz) cuja circunferência do arco é igual à circunferência da base do cone, isto é
. A área de um setor circular de raio
com comprimento de arco
é
Aqui expliquei cada símbolo:
é a constante,
é o raio da base e
é a geratriz (slant height).
Passo 3
A área da base
do cone é a área de um círculo de raio
. A fórmula é a conhecida:
Então a área total
do cone é a soma da área lateral com a da base:
Passo 4
Agora usemos a condição do cone equilátero que listamos no Passo 1. Na seção axial (o triângulo que aparece cortando o cone pelo eixo), os lados são
e a base é
. Se esse triângulo é equilátero, todos os lados são iguais, portanto
Isso é só a tradução direta da definição: o lado do triângulo (que é a geratriz) é igual à base do triângulo (o diâmetro da base do cone).
Passo 5
Vamos substituir
nas fórmulas das áreas. Primeiro a área lateral:
Em seguida a área total:
Passo 6
Agora calculamos a razão pedida:
Cancelamos
no numerador e no denominador (isso é permitido desde que
, e um cone tem raio positivo), obtendo
Passo 7
Interpretação final: a razão entre a área total e a área lateral de um cone cuja seção axial é um triângulo equilátero (ou seja,
) é
. Isso corresponde à alternativa (d).
Resposta
d)