\mathbf{3}^{\boldsymbol{\circ}} Questão (2,5 Pontos): Uma placa cerâmica (A) precisa passar por um procedimento para tratamento térmico, para isso a temperatura da face cerâmica, em contato com a placa aquecedora, deve ser igual a 100^{\circ} \mathrm{C}. Para manter essa temperatura, a placa cerâmica é aquecida por contato com a placa aquecedora (B), esse dispositivo é atravessado por uma corrente de 3 A, que gera uma taxa de calor uniforme unidade de volume. A face superior da camada cerâmica está em contato com o ar a uma temperatura de 30^{\circ} \mathrm{C}. Já a face inferior da placa aquecedora está perfeitamente isolada. Considerando que o coeficiente de transferência de calor por convecção do ar é igual a 15 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}{ }^{\circ} \mathrm{C} e que a resistência de contato entre as duas camadas é
calcule:
  1. a temperatura da camada cerâmica em contato com o ar;
  2. a quantidade de calor gerada na placa aquecedora;
  3. a temperatura da camada inferior da placa aquecedora.
Considere os seguintes dados: A área total do conjunto (D) igual a 3 \mathrm{~m}^{2}; Espessura total do conjunto (L) igual a 20 cm , sendo a espessura da placa cerâmica corresponde a 20% desse total; condutividade térmica da placa cerâmica igual a 100 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C} e da placa aquecedora igual a 15 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (usei os dados numéricos do enunciado e observei na figura que a face inferior da placa aquecedora está perfeitamente isolada e que a resistência de contato entre camadas é desprezível).
Dados fornecidos:
  • Área total do conjunto: D=3\\ \mathrm{m}^2.
  • Espessura total: L=0,20\\ \mathrm{m}.
  • Espessura da placa cerâmica (20% de L): t_{c}=0{,}20\cdot L=0{,}04\\ \mathrm{m}.
  • Espessura da placa aquecedora: t_{h}=L-t_{c}=0{,}16\\ \mathrm{m}.
  • Condutividade térmica da cerâmica: k_c=100\\ \mathrm{W/(m\cdot ^\circ C)}.
  • Condutividade térmica do aquecedor: k_h=15\\ \mathrm{W/(m\cdot ^\circ C)}.
  • Temperatura do ar (fluido): T_\infty=30^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente de convecção no topo da cerâmica: h=15\\ \mathrm{W/(m^2\cdot ^\circ C)}.
  • A face da cerâmica em contato com o aquecedor deve ter temperatura igual a 100^\circ\mathrm{C}. Vou chamar essa temperatura de interface: T_i=100^\circ\mathrm{C}.
  • A face inferior da placa aquecedora está perfeitamente isolada (fluxo térmico zero por aí).
  • A resistência de contato entre as duas camadas é desprezível (isto permite igualar temperaturas e fluxos diretamente na interface).
O que o enunciado pede:
  1. A temperatura da face externa da camada cerâmica, em contato com o ar (chamarei de T_{top}).
  2. A quantidade total de calor gerada na placa aquecedora (taxa de geração total \dot{Q} em W).
  3. A temperatura da face inferior da placa aquecedora (vou chamar de T_{bot}).

Passo 2

Modelo físico e simplificações (explicando as ideias):
  • Situação unidimensional ao longo da espessura, regime estacionário (temperaturas não variam no tempo).
  • Na cerâmica (camada sem geração interna) a condução é linear e o fluxo por unidade de área q'' é constante em toda a espessura da cerâmica.
  • No contato cerâmica–aquecedor a resistência é desprezível, então a face do aquecedor em contato com a cerâmica tem exatamente T_i=100^\circ\mathrm{C}.
  • No topo da cerâmica há convecção para o ar: o mesmo fluxo por unidade de área q'' que sai da face superior pela convecção.
  • O aquecedor gera calor volumétrico uniforme; como sua face inferior é isolada, todo calor gerado deve subir e passar pela interface e ser perdido por convecção no topo. Logo, a taxa total gerada \dot{Q} é igual ao calor convectado para o ar.
  • Fórmulas que serão usadas (explicando cada termo):
    • Lei de Fourier (fluxo por condução numa camada sem geração): q'' = -k\frac{\Delta T}{\Delta x}. Aqui q'' é calor por unidade de área (W/m ^2), k condutividade, \Delta T/\Delta x gradiente de temperatura.
    • Lei de convecção na face: q'' = h\,(T_{top}-T_\infty), onde h é coeficiente convectivo e T_{top} é temperatura na face exposta.
    • Resistência térmica da camada para condução (fómula útil): a queda de temperatura através de uma camada é \Delta T = q''\cdot R_{cond} com R_{cond} = \dfrac{t}{k} (unidades m^2·K/W por unidade de área).
    • Para a placa com geração volumétrica uniforme q''' e com face inferior isolada, a temperatura na face inferior (distante t_h da interface) pode ser obtida integrando a equação de condução estacionária com geração: resultará em um aumento de temperatura em relação a T_i igual a \dfrac{q''\,t_h}{2k_h} (vou deduzir isto com detalhe no Passo 5).

Passo 3

Determinação de T_{top} (equilíbrio entre condução pela cerâmica e convecção no topo).
Na cerâmica, queda de temperatura entre interface (temperatura T_i) e topo (temperatura T_{top}) é dada por:
q'' = k_c\frac{T_i - T_{top}}{t_c}.
Na superfície superior, o mesmo fluxo atende à convecção:
q'' = h\,(T_{top}-T_\infty).
Igualando as duas expressões para q'':
h\,(T_{top}-T_\infty) = k_c\frac{T_i - T_{top}}{t_c}.
Agora resolvemos para T_{top}. Reorganizando:
h\,T_{top} - h\,T_\infty = \frac{k_c}{t_c}T_i - \frac{k_c}{t_c}T_{top}.
Agrupando os termos de T_{top}:
\left(h + \frac{k_c}{t_c}\right)T_{top} = \frac{k_c}{t_c}T_i + h\,T_\infty.
Portanto
T_{top}=\frac{\dfrac{k_c}{t_c}T_i + h\,T_\infty}{h + \dfrac{k_c}{t_c}}.
Agora substituímos os valores numéricos (mostrando os cálculos):
  • \dfrac{k_c}{t_c}=\dfrac{100}{0{,}04}=2500\\ \mathrm{W/(m^2\cdot ^\circ C)}.
  • h=15\\ \mathrm{W/(m^2\cdot ^\circ C)}.
  • \dfrac{k_c}{t_c}T_i = 2500\cdot 100 = 250000.
  • h\,T_\infty = 15\cdot 30 = 450.
  • Denominador: h + \dfrac{k_c}{t_c} = 15 + 2500 = 2515.
Logo
T_{top}=\frac{250000 + 450}{2515} = \frac{250450}{2515}\approx 99{,}58^\circ\mathrm{C}.
Interpretação: a cerâmica é muito condutora e fina, por isso a queda entre T_i=100^\circ\mathrm{C} e T_{top} é muito pequena.

Passo 4

Cálculo do fluxo por unidade de área q'' e da taxa total de calor \dot{Q}.
Use a expressão convectiva (mais direta):
q'' = h\,(T_{top}-T_\infty).
Substituindo:
q'' = 15\cdot(99{,}5825-30)\\ \mathrm{W/m^2}\approx 15\cdot 69{,}5825 \approx 1043{,}74\\ \mathrm{W/m^2}.
(ou, alternativamente, q''=k_c\dfrac{T_i-T_{top}}{t_c}, que dá o mesmo valor.)
A taxa total gerada pela placa aquecedora é o fluxo por área vezes a área:
\dot{Q} = q''\cdot D = 1043{,}74\cdot 3 \approx 3131{,}22\\ \mathrm{W}.

Passo 5

Temperatura da face inferior da placa aquecedora T_{bot} (dedução da expressão e cálculo).
No aquecedor há geração volumétrica uniforme q''' ligada ao fluxo por área por:
q'' = q'''\,t_h \quad\text{(porque a face inferior é isolada e todo o calor gerado sobe)}.é
Assim q''' = \dfrac{q''}{t_h}.
Para a distribuição de temperatura ao longo do aquecedor (eixo x medido a partir da interface para baixo, x=0 na interface, x=t_h na face inferior isolada) a equação diferencial em regime estacionário é
\frac{d^2 T}{dx^2} = -\frac{q'''}{k_h}.
Integramos duas vezes:
\frac{dT}{dx} = -\frac{q'''}{k_h}x + C_1,
T(x) = -\frac{q'''}{2k_h}x^2 + C_1 x + C_2.
Condições de contorno:
  • No topo da camada do aquecedor (interface, x=0) tem T(0)=T_i\Rightarrow C_2=T_i.
  • Na face inferior x=t_h a superfície está isolada, logo o fluxo é nulo: \left.\dfrac{dT}{dx}\right|_{x=t_h}=0. Aplicando isto:
0 = -\frac{q'''}{k_h}t_h + C_1 \quad\Rightarrow\quad C_1 = \frac{q'''}{k_h}t_h.
Agora a temperatura na face inferior T_{bot}=T(t_h) é
T_{bot} = -\frac{q'''}{2k_h}t_h^2 + C_1 t_h + T_i.
Substituindo C_1:
T_{bot} = -\frac{q'''}{2k_h}t_h^2 + \frac{q'''}{k_h}t_h^2 + T_i = \frac{q'''}{2k_h}t_h^2 + T_i.
Substituindo q'''=q''/t_h:
T_{bot} = T_i + \frac{q''\,t_h}{2k_h}.
Esta forma é intuitiva: para geração uniforme em uma faixa com face inferior isolada, a máxima (neste caso no fundo) é T_i mais um acréscimo proporcional a q''.
Agora cálculos numéricos:
  • q''\approx 1043{,}74\\ \mathrm{W/m^2}.
  • t_h=0{,}16\\ \mathrm{m}.
  • k_h=15\\ \mathrm{W/(m\cdot ^\circ C)}.
\Delta T = \frac{q''\,t_h}{2k_h} = \frac{1043{,}74\cdot 0{,}16}{2\cdot 15} = \frac{167{,}0}{30}\approx 5{,}567^\circ\mathrm{C}.
Portanto
T_{bot} = 100 + 5{,}567 \approx 105{,}57^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Resumo e interpretação física final (rápido):
  • A cerâmica sendo muito condutora e fina fica praticamente na temperatura de interface; a queda para o ar é pequena.
  • A energia gerada no aquecedor (~3,13 kW) é dissipada por convecção para o ar em cima.
  • Devido à geração interna e ao fato de a face inferior ser isolada, a temperatura do fundo do aquecedor fica maior que a interface (máx. no fundo).

Resposta

T_{top}\approx 99{,}58^\circ\mathrm{C}\n
\dot{Q}\approx 3131{,}2\\ \mathrm{W}\n
T_{bot}\approx 105{,}57^\circ\mathrm{C}

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