\mathbf{3}^{\boldsymbol{\circ}} Questão (2,5 Pontos): Uma placa cerâmica (A) precisa passar por um procedimento para tratamento térmico, para isso a temperatura da face cerâmica, em contato com a placa aquecedora, deve ser igual a 100^{\circ} \mathrm{C}. Para manter essa temperatura, a placa cerâmica é aquecida por contato com a placa aquecedora (B), esse dispositivo é atravessado por uma corrente de 3 A, que gera uma taxa de calor uniforme unidade de volume. A face superior da camada cerâmica está em contato com o ar a uma temperatura de 30^{\circ} \mathrm{C}. Já a face inferior da placa aquecedora está perfeitamente isolada. Considerando que o coeficiente de transferência de calor por convecção do ar é igual a 15 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}{ }^{\circ} \mathrm{C} e que a resistência de contato entre as duas camadas é
calcule:
a temperatura da camada cerâmica em contato com o ar;
a quantidade de calor gerada na placa aquecedora;
a temperatura da camada inferior da placa aquecedora.
Considere os seguintes dados: A área total do conjunto (D) igual a 3 \mathrm{~m}^{2}; Espessura total do conjunto (L) igual a 20 cm , sendo a espessura da placa cerâmica corresponde a 20% desse total; condutividade térmica da placa cerâmica igual a 100 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C} e da placa aquecedora igual a 15 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C}.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (usei os dados numéricos do enunciado e observei na figura que a face inferior da placa aquecedora está perfeitamente isolada e que a resistência de contato entre camadas é desprezível).
Dados fornecidos:
Área total do conjunto: D=3\\ \mathrm{m}^2.
Espessura total: L=0,20\\ \mathrm{m}.
Espessura da placa cerâmica (20% de L): t_{c}=0{,}20\cdot L=0{,}04\\ \mathrm{m}.
Espessura da placa aquecedora: t_{h}=L-t_{c}=0{,}16\\ \mathrm{m}.
Condutividade térmica da cerâmica: k_c=100\\ \mathrm{W/(m\cdot ^\circ C)}.
Condutividade térmica do aquecedor: k_h=15\\ \mathrm{W/(m\cdot ^\circ C)}.
Temperatura do ar (fluido): T_\infty=30^\circ\mathrm{C}.
Coeficiente de convecção no topo da cerâmica: h=15\\ \mathrm{W/(m^2\cdot ^\circ C)}.
A face da cerâmica em contato com o aquecedor deve ter temperatura igual a 100^\circ\mathrm{C}. Vou chamar essa temperatura de interface: T_i=100^\circ\mathrm{C}.
A face inferior da placa aquecedora está perfeitamente isolada (fluxo térmico zero por aí).
A resistência de contato entre as duas camadas é desprezível (isto permite igualar temperaturas e fluxos diretamente na interface).
O que o enunciado pede:
A temperatura da face externa da camada cerâmica, em contato com o ar (chamarei de T_{top}).
A quantidade total de calor gerada na placa aquecedora (taxa de geração total \dot{Q} em W).
A temperatura da face inferior da placa aquecedora (vou chamar de T_{bot}).
Passo 2
Modelo físico e simplificações (explicando as ideias):
Situação unidimensional ao longo da espessura, regime estacionário (temperaturas não variam no tempo).
Na cerâmica (camada sem geração interna) a condução é linear e o fluxo por unidade de área q'' é constante em toda a espessura da cerâmica.
No contato cerâmica–aquecedor a resistência é desprezível, então a face do aquecedor em contato com a cerâmica tem exatamente T_i=100^\circ\mathrm{C}.
No topo da cerâmica há convecção para o ar: o mesmo fluxo por unidade de área q'' que sai da face superior pela convecção.
O aquecedor gera calor volumétrico uniforme; como sua face inferior é isolada, todo calor gerado deve subir e passar pela interface e ser perdido por convecção no topo. Logo, a taxa total gerada \dot{Q} é igual ao calor convectado para o ar.
Fórmulas que serão usadas (explicando cada termo):
Lei de Fourier (fluxo por condução numa camada sem geração): q'' = -k\frac{\Delta T}{\Delta x}. Aqui q'' é calor por unidade de área (W/m^2), k condutividade, \Delta T/\Delta x gradiente de temperatura.
Lei de convecção na face: q'' = h\,(T_{top}-T_\infty), onde h é coeficiente convectivo e T_{top} é temperatura na face exposta.
Resistência térmica da camada para condução (fómula útil): a queda de temperatura através de uma camada é \Delta T = q''\cdot R_{cond} com R_{cond} = \dfrac{t}{k} (unidades m^2·K/W por unidade de área).
Para a placa com geração volumétrica uniforme q''' e com face inferior isolada, a temperatura na face inferior (distante t_h da interface) pode ser obtida integrando a equação de condução estacionária com geração: resultará em um aumento de temperatura em relação a T_i igual a \dfrac{q''\,t_h}{2k_h} (vou deduzir isto com detalhe no Passo 5).
Passo 3
Determinação de T_{top} (equilíbrio entre condução pela cerâmica e convecção no topo).
Na cerâmica, queda de temperatura entre interface (temperatura T_i) e topo (temperatura T_{top}) é dada por:
q'' = k_c\frac{T_i - T_{top}}{t_c}.
Na superfície superior, o mesmo fluxo atende à convecção:
(ou, alternativamente, q''=k_c\dfrac{T_i-T_{top}}{t_c}, que dá o mesmo valor.)
A taxa total gerada pela placa aquecedora é o fluxo por área vezes a área:
\dot{Q} = q''\cdot D = 1043{,}74\cdot 3 \approx 3131{,}22\\ \mathrm{W}.
Passo 5
Temperatura da face inferior da placa aquecedora T_{bot} (dedução da expressão e cálculo).
No aquecedor há geração volumétrica uniforme q''' ligada ao fluxo por área por:
q'' = q'''\,t_h \quad\text{(porque a face inferior é isolada e todo o calor gerado sobe)}.
Assim q''' = \dfrac{q''}{t_h}.
Para a distribuição de temperatura ao longo do aquecedor (eixo x medido a partir da interface para baixo, x=0 na interface, x=t_h na face inferior isolada) a equação diferencial em regime estacionário é
\frac{d^2 T}{dx^2} = -\frac{q'''}{k_h}.
Integramos duas vezes:
\frac{dT}{dx} = -\frac{q'''}{k_h}x + C_1,
T(x) = -\frac{q'''}{2k_h}x^2 + C_1 x + C_2.
Condições de contorno:
No topo da camada do aquecedor (interface, x=0) tem T(0)=T_i\Rightarrow C_2=T_i.
Na face inferior x=t_h a superfície está isolada, logo o fluxo é nulo: \left.\dfrac{dT}{dx}\right|_{x=t_h}=0. Aplicando isto:
Esta forma é intuitiva: para geração uniforme em uma faixa com face inferior isolada, a máxima (neste caso no fundo) é T_i mais um acréscimo proporcional a q''.