1.[SED3]. Certa massa ( \mathbf{m} ) de fluido ocupa o volume de \mathbf{2 , 5} \mathbf{~ m}^{\mathbf{3}} \mathrm{em} um recipiente que não permite fuga de massa e tampouco acréscimo. O volume é reduzido em \mathbf{2 , 0 \%} quando submetido a um acréscimo de pressão de \mathbf{2 0 0 k p a}. Mediante o acréscimo de pressão a massa específica no recipiente é acrescida de \mathbf{1 0 0 k g} / \mathbf{m}^{\mathbf{3}}. Com as informações disponíveis solicita-se: determinar em “Kg” a massa contida no recipiente.

Passo 1

O enunciado pede para determinar, em quilogramas, a massa contida num recipiente fechado com as seguintes informações:
  • O volume inicial é V_0 = 2,5\\ \mathrm{m}^3.
  • Sob aumento de pressão de 200\\ \mathrm{kPa} o volume é reduzido em 2,0\%.
  • Após o aumento de pressão, a massa específica (densidade) no recipiente aumenta em 100\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.
  • O recipiente é fechado (não entra nem sai massa), portanto a massa m é constante.
A pergunta é: qual é a massa m em \mathrm{kg}?

Passo 2

Conceitos importantes e relação básica que vamos usar (aula rápida):
  • Massa específica ou densidade, \rho, é a razão entre massa e volume: \rho = \dfrac{m}{V}. Aqui \rho tem unidade \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3, m tem unidade \mathrm{kg} e V tem unidade \mathrm{m}^3.
  • Reescrevendo, a relação que usamos em problemas é a fórmula direta da massa: m = \rho \, V.
  • Como o recipiente é fechado, a massa não muda quando o volume e a densidade mudam; portanto a massa inicial e final são iguais:
m = \rho_0 V_0 = \rho_f V_f.
Aqui \rho_0 e V_0 são densidade e volume iniciais, e \rho_f e V_f são densidade e volume finais.

Passo 3

Vamos colocar em símbolos e usar os dados:
  • Volume inicial: V_0 = 2,5\\ \mathrm{m}^3.
  • Redução do volume de 2,0\% significa que o volume final é
V_f = V_0\bigl(1 - 0,02\bigr) = 0,98\,V_0.
  • A densidade aumenta em 100\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3, então
\rho_f = \rho_0 + 100.
  • Igualdade da massa:
\rho_0 V_0 = \rho_f V_f.

Passo 4

Substituímos as expressões de \rho_f e V_f na igualdade da massa:
\rho_0 V_0 = (\rho_0 + 100)\, (0,98\,V_0).
Como V_0 é diferente de zero, podemos dividir ambos os lados por V_0, simplificando a equação:
\rho_0 = 0,98\,(\rho_0 + 100).

Passo 5

Agora resolvemos a equação para \rho_0. Desenvolvendo o lado direito:
\rho_0 = 0,98\,\rho_0 + 0,98\cdot 100.
Calculando 0,98\cdot 100:
0,98\cdot 100 = 98.
Então a equação fica
\rho_0 = 0,98\,\rho_0 + 98.

Passo 6

Isolando \rho_0:
\rho_0 - 0,98\,\rho_0 = 98
(1 - 0,98)\,\rho_0 = 98
0,02\,\rho_0 = 98.
Dividindo ambos os lados por 0,02:
\rho_0 = \dfrac{98}{0,02}.
Fazendo a divisão (uma conta simples de cabeça: dividir por 0,02 é multiplicar por 50, porque 1/0,02=50):
\rho_0 = 98\cdot 50 = 4\,900\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.
(Verificação rápida: \rho_f = \rho_0 + 100 = 5\,000\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.)

Passo 7

Agora calculamos a massa usando m = \rho_0 V_0:
Podemos também usar m = \rho_f V_f; ambas dão o mesmo resultado. Usando \rho_0 e V_0:
m = \rho_0 V_0 = 4\,900 \cdot 2,5.
Fazendo a multiplicação por partes:
4\,900\cdot 2 = 9\,800,\quad 4\,900\cdot 0,5 = 2\,450,
somando:
m = 9\,800 + 2\,450 = 12\,250\\ \mathrm{kg}.

Passo 8

Resumo final e checagem rápida: com densidade inicial \rho_0=4\,900\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3 e volume inicial 2,5\\ \mathrm{m}^3 obtemos massa 12\,250\\ \mathrm{kg}. Se usar os valores finais \rho_f=5\,000\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3 e V_f=0,98\cdot 2,5=2,45\\ \mathrm{m}^3, também vem 5\,000\cdot 2,45=12\,250\\ \mathrm{kg}. Está consistente — missão cumprida! Força aí na prova, você tá indo bem.

Resposta

12\,250\\ \mathrm{kg}

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