Seek power series solutions of the given differential equation about the given point
; find the recurrence relation that the coefficients must satisfy.
Passo 1
O enunciado pede que a gente procure soluções em série de potência para a EDO
em torno de
. O conteúdo aqui é usar séries de Taylor genéricas
e encontrar uma relação de recorrência entre os coeficientes
.
Passo 2
Primeiro, escrevemos
,
e
como séries em
:
Passo 3
Substituímos essas séries na EDO:
Passo 4
Para igualar as potências de
, fazemos mudança de índice em cada soma. Na primeira, ponha
(logo
); na segunda,
(logo
). Assim ambas somas ficam em
:
Passo 5
Como a soma de potências deve dar zero para todo
, cada coeficiente de
tem que se anular. Isso leva à relação
que, para
e
, isola-se em