Seek power series solutions of the given differential equation about the given point x0; find the recurrence relation that the coefficients must satisfy.
y^prime prime+3 y^prime=0, x0=0

Passo 1

O enunciado pede que a gente procure soluções em série de potência para a EDO y''+3y'=0 em torno de x0=0. O conteúdo aqui é usar séries de Taylor genéricas y=sumn=0^infty anx^n e encontrar uma relação de recorrência entre os coeficientes an.

Passo 2

Primeiro, escrevemos y, y' e y'' como séries em x:
y=sumn=0^infty anx^n, y'=sumn=1^infty n,anx^n-1, y''=sumn=2^infty n(n-1),anx^n-2

Passo 3

Substituímos essas séries na EDO:
sumn=2^infty n(n-1)anx^n-2+3sumn=1^infty n anx^n-1=0

Passo 4

Para igualar as potências de x, fazemos mudança de índice em cada soma. Na primeira, ponha m=n-2 (logo n=m+2); na segunda, m=n-1 (logo n=m+1). Assim ambas somas ficam em x^m:
summ=0^infty (m+2)(m+1)am+2x^m+3summ=0^infty (m+1)am+1x^m=0

Passo 5

Como a soma de potências deve dar zero para todo x, cada coeficiente de x^m tem que se anular. Isso leva à relação
(m+2)(m+1)am+2+3(m+1)am+1=0,
que, para m>=0 e m+1ne0, isola-se em
am+2=-3m+2,am+1

Resposta

am+2=-3m+2,am+1, m>=0

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