In each of Problems 7 through 13, determine the Taylor series about the point x0 for the given function. Also determine the radius of convergence of the series.
11-x, x0=2

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de Taylor de f(x)=1/(1−x) em torno de x₀=2 e o raio de convergência. Vamos usar a série geométrica e um deslocamento de variável.

Passo 2

Definimos t=x−2. Assim x=2+t e obtemos f(x)=1/(1−(2+t))=1/(−1−t)=−1/(1+t).

Passo 3

Sabemos que, para |t|<1, vale a série geométrica
11+t=sumn=0^infty(-1)^n,t^n
Multiplicando por −1, temos f(x)=−1/(1+t).

Passo 4

Substituindo t=x−2, chegamos à série de Taylor em torno de x₀=2:
11-x=sumn=0^infty(-1)^n+1(x-2)^n

Passo 5

A condição de convergência da série geométrica é |t|<1, ou seja |x−2|<1. Portanto o raio de convergência é R=1.

Resposta

A expansão em série de Taylor de 11-x em torno de x0=2 é:
11-x=sumn=0^infty(-1)^n+1(x-2)^n,
com raio de convergência R=1.

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