In each of Problems 7 through 13, determine the Taylor series about the point
for the given function. Also determine the radius of convergence of the series.
Passo 1
O enunciado pede a expansão em série de Taylor de f(x)=1/(1−x) em torno de x₀=2 e o raio de convergência. Vamos usar a série geométrica e um deslocamento de variável.
Passo 2
Definimos t=x−2. Assim x=2+t e obtemos f(x)=1/(1−(2+t))=1/(−1−t)=−1/(1+t).
Passo 3
Sabemos que, para |t|<1, vale a série geométrica
Multiplicando por −1, temos f(x)=−1/(1+t).
Passo 4
Substituindo t=x−2, chegamos à série de Taylor em torno de x₀=2:
Passo 5
A condição de convergência da série geométrica é |t|<1, ou seja |x−2|<1. Portanto o raio de convergência é R=1.
Resposta
A expansão em série de Taylor de
em torno de
é:
com raio de convergência
.