In each of Problems 7 through 13, determine the Taylor series about the point x0 for the given function. Also determine the radius of convergence of the series.
11-x, x0=0

Passo 1

Beleza, o enunciado pede a série de Taylor de f(x)=tfrac11-x em torno de x0=0. O conteúdo é expansão em série de Taylor (ou série de potências) e pra isso a gente pode usar a definição f(x)=sumn=0^inftyf^(n)(0)n!x^n, além de precisar determinar o raio de convergência.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas de f e avaliá-las em zero. A função é f(x)=11-x, então
f'(x)=1(1-x)^2, f''(x)=2!(1-x)^3, f^(n)(x)=n!(1-x)^n+1

Passo 3

Avaliando em x=0 temos f^(n)(0)=n!. Substituindo na definição da série de Taylor fica
f(x)=sumn=0^inftyf^(n)(0)n!,x^n=sumn=0^inftyn!n!x^n=sumn=0^inftyx^n

Passo 4

Para achar o raio de convergência usamos o teste da razão em an=1:
limntoinfty|an+1an|=limntoinfty11=1

Passo 5

Isso mostra que a série converge para |x|<1, ou seja, o raio de convergência é R=1.

Resposta

sumn=0^inftyx^n, R=1

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