In each of Problems 7 through 13, determine the Taylor series about the point for the given function. Also determine the radius of convergence of the series.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede a série de Taylor de em torno de . O conteúdo é expansão em série de Taylor (ou série de potências) e pra isso a gente pode usar a definição , além de precisar determinar o raio de convergência.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas de e avaliá-las em zero. A função é , então
Passo 3
Avaliando em temos . Substituindo na definição da série de Taylor fica
Passo 4
Para achar o raio de convergência usamos o teste da razão em :
Passo 5
Isso mostra que a série converge para |x|<1, ou seja, o raio de convergência é R=1.