A é uma matriz quadrada 3\times3 com \det(A)=-5\neq0, logo é invertível.
Como A é invertível, existe uma sequência de operações elementares de linha que transforma a matriz identidade I_3 em A. Cada operação de linha corresponde a multiplicar, à esquerda, por uma matriz elementar; assim podemos escrever A como produto de matrizes elementares.]
Passo 2
O que é uma matriz elementar e como vamos usá-la (aula breve, passo a passo).
Uma matriz elementar é exatamente a matriz obtida a partir da identidade I_3 aplicando uma única operação elementar de linha (troca de linhas, multiplicar uma linha por escalar não-nulo, ou adicionar múltiplo de uma linha a outra).
Multiplicar uma matriz M à esquerda por uma matriz elementar E faz em M a operação de linha correspondente àquela que gerou E a partir de I_3.
Estratégia prática: aplicar operações de linha a A até obter I_3. Se F_1,F_2,\dots,F_m forem as matrizes elementares que, multiplicadas à esquerda em sequência, reduzem A a I_3, entãoF_m\cdots F_2 F_1 A = I_3.Isolando A,A = (F_m\cdots F_2 F_1)^{-1} = F_1^{-1} F_2^{-1}\cdots F_m^{-1}.Como a inversa de cada matriz elementar também é uma matriz elementar (basta trocar o sinal do múltiplo ou usar o recíproco do escalar), obtemos A como produto de matrizes elementares explícitas: os inversos das F_i, em ordem.
Passo 3
Aplicar eliminação de Gauss em A e registrar as operações (cada operação corresponde a uma matriz elementar F_i que multiplicada à esquerda aplica essa operação).
Para checar rapidamente (opcional): multiplicando estas seis matrizes na ordem indicada obtemos A. A verificação passo a passo da multiplicação é direta e confirma