Encontre matrizes elementares E_{1}, E_{2}, \cdots, E_{k} tais que A=E_{1} E_{2} \cdots E_{k} para
A=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 1 & -1 \\\\ 2 & 1 & 0 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: encontrar matrizes elementares E_{1},E_{2},\dots,E_{k} tais que
A=E_{1}E_{2}\cdots E_{k},
onde
A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 1\\[4pt] 0 & 1 & -1\\[4pt] 2 & 1 & 0\end{pmatrix}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A é uma matriz quadrada 3\times3 com \det(A)=-5\neq0, logo é invertível.
  • Como A é invertível, existe uma sequência de operações elementares de linha que transforma a matriz identidade I_3 em A. Cada operação de linha corresponde a multiplicar, à esquerda, por uma matriz elementar; assim podemos escrever A como produto de matrizes elementares.]

Passo 2

O que é uma matriz elementar e como vamos usá-la (aula breve, passo a passo).
  • Uma matriz elementar é exatamente a matriz obtida a partir da identidade I_3 aplicando uma única operação elementar de linha (troca de linhas, multiplicar uma linha por escalar não-nulo, ou adicionar múltiplo de uma linha a outra).
  • Multiplicar uma matriz M à esquerda por uma matriz elementar E faz em M a operação de linha correspondente àquela que gerou E a partir de I_3.
  • Estratégia prática: aplicar operações de linha a A até obter I_3. Se F_1,F_2,\dots,F_m forem as matrizes elementares que, multiplicadas à esquerda em sequência, reduzem A a I_3, então F_m\cdots F_2 F_1 A = I_3.Isolando A, A = (F_m\cdots F_2 F_1)^{-1} = F_1^{-1} F_2^{-1}\cdots F_m^{-1}.Como a inversa de cada matriz elementar também é uma matriz elementar (basta trocar o sinal do múltiplo ou usar o recíproco do escalar), obtemos A como produto de matrizes elementares explícitas: os inversos das F_i, em ordem.

Passo 3

Aplicar eliminação de Gauss em A e registrar as operações (cada operação corresponde a uma matriz elementar F_i que multiplicada à esquerda aplica essa operação).
Partimos de
A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 1\\[4pt] 0 & 1 & -1\\[4pt] 2 & 1 & 0\end{pmatrix}.
Operação F_1: eliminar o elemento na posição (3,1) usando R_3\leftarrow R_3-2R_1.
  • Matriz elementar correspondente (aplicada à esquerda) é
F_1=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] -2 & 0 & 1\end{pmatrix},
e o resultado A^{(1)}=F_1A é
A^{(1)}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 1\\[4pt] 0 & 1 & -1\\[4pt] 0 & -3 & -2\end{pmatrix}.]

Passo 4

Continuar a eliminação.
Operação F_2: eliminar o elemento (1,2) usando R_1\leftarrow R_1-2R_2.
  • Matriz elementar
F_2=\begin{pmatrix}1 & -2 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.
Aplicando em A^{(1)}: A^{(2)}=F_2 A^{(1)},
A^{(2)}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 3\\[4pt] 0 & 1 & -1\\[4pt] 0 & -3 & -2\end{pmatrix}.
Operação F_3: zerar (3,2) com R_3\leftarrow R_3+3R_2.
  • Matriz elementar
F_3=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 3 & 1\end{pmatrix}.
Aplicando: A^{(3)}=F_3 A^{(2)},
A^{(3)}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 3\\[4pt] 0 & 1 & -1\\[4pt] 0 & 0 & -5\end{pmatrix}.]

Passo 5

Normalizar a terceira linha e eliminar acima dela.
Operação F_4: escalar a linha 3 para obter pivô 1: R_3\leftarrow -\tfrac{1}{5}R_3.
  • Matriz elementar (escala na linha 3)
F_4=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -\tfrac{1}{5}\end{pmatrix}.
Aplicando: A^{(4)}=F_4 A^{(3)},
A^{(4)}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 3\\[4pt] 0 & 1 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.
Operação F_5: zerar (1,3) com R_1\leftarrow R_1-3R_3.
  • Matriz elementar
F_5=\begin{pmatrix}1 & 0 & -3\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.
Aplicando: A^{(5)}=F_5 A^{(4)},
A^{(5)}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.
Operação F_6: zerar (2,3) com R_2\leftarrow R_2+R_3.
  • Matriz elementar
F_6=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.
Aplicando: A^{(6)}=F_6 A^{(5)},
A^{(6)}=I_3=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.
Resumo: efetuamos as operações F_1,\dots,F_6 tal que
F_6 F_5 F_4 F_3 F_2 F_1\, A = I_3.]

Passo 6

Escrever A como produto das inversas das F_i. Como A=(F_6 F_5 F_4 F_3 F_2 F_1)^{-1}, obtemos
A = F_1^{-1} F_2^{-1} F_3^{-1} F_4^{-1} F_5^{-1} F_6^{-1}.
Agora, calcular explicitamente cada inversa (cada inversa é também uma matriz elementar simples):
  • F_1=\begin{pmatrix}1&0&0\\[4pt]0&1&0\\[4pt]-2&0&1\end{pmatrix} corresponde a R_3\leftarrow R_3-2R_1. Assim
    F_1^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]0 & 1 & 0\\[4pt]2 & 0 & 1\end{pmatrix},
    que é a operação R_3\leftarrow R_3+2R_1.
  • F_2=\begin{pmatrix}1&-2&0\\[4pt]0&1&0\\[4pt]0&0&1\end{pmatrix} corresponde a R_1\leftarrow R_1-2R_2. Assim
    F_2^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 0\\[4pt]0 & 1 & 0\\[4pt]0 & 0 & 1\end{pmatrix},
    que é R_1\leftarrow R_1+2R_2.
  • F_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\[4pt]0&1&0\\[4pt]0&3&1\end{pmatrix} corresponde a R_3\leftarrow R_3+3R_2. Assim
    F_3^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]0 & 1 & 0\\[4pt]0 & -3 & 1\end{pmatrix},
    que é R_3\leftarrow R_3-3R_2.
  • F_4=\begin{pmatrix}1&0&0\\[4pt]0&1&0\\[4pt]0&0&-\tfrac{1}{5}\end{pmatrix} (escala R_3 por -\tfrac{1}{5}). Assim
    F_4^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]0 & 1 & 0\\[4pt]0 & 0 & -5\end{pmatrix},
    que escala R_3 por -5.
  • F_5=\begin{pmatrix}1&0&-3\\[4pt]0&1&0\\[4pt]0&0&1\end{pmatrix} corresponde a R_1\leftarrow R_1-3R_3. Assim
    F_5^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 3\\[4pt]0 & 1 & 0\\[4pt]0 & 0 & 1\end{pmatrix},
    que é R_1\leftarrow R_1+3R_3.
  • F_6=\begin{pmatrix}1&0&0\\[4pt]0&1&1\\[4pt]0&0&1\end{pmatrix} corresponde a R_2\leftarrow R_2+R_3. Assim
    F_6^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]0 & 1 & -1\\[4pt]0 & 0 & 1\end{pmatrix},
    que é R_2\leftarrow R_2-R_3.]

Passo 7

Listar as matrizes elementares finais E_1,\dots,E_6 (usando a ordem que garante A=E_1E_2\cdots E_6). Tomando
E_1=F_1^{-1},\; E_2=F_2^{-1},\; E_3=F_3^{-1},\; E_4=F_4^{-1},\; E_5=F_5^{-1},\; E_6=F_6^{-1},
obtemos explicitamente:
E_{1}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]0 & 1 & 0\\[4pt]2 & 0 & 1\end{pmatrix},\quad E_{2}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 0\\[4pt]0 & 1 & 0\\[4pt]0 & 0 & 1\end{pmatrix},\quad E_{3}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]0 & 1 & 0\\[4pt]0 & -3 & 1\end{pmatrix},
E_{4}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]0 & 1 & 0\\[4pt]0 & 0 & -5\end{pmatrix},\quad E_{5}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 3\\[4pt]0 & 1 & 0\\[4pt]0 & 0 & 1\end{pmatrix},\quad E_{6}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]0 & 1 & -1\\[4pt]0 & 0 & 1\end{pmatrix}.
Para checar rapidamente (opcional): multiplicando estas seis matrizes na ordem indicada obtemos A. A verificação passo a passo da multiplicação é direta e confirma
A = E_{1}E_{2}E_{3}E_{4}E_{5}E_{6}.]

Resposta

E_{1}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]0 & 1 & 0\\[4pt]2 & 0 & 1\end{pmatrix},\quad E_{2}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 0\\[4pt]0 & 1 & 0\\[4pt]0 & 0 & 1\end{pmatrix},\quad E_{3}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]0 & 1 & 0\\[4pt]0 & -3 & 1\end{pmatrix},
E_{4}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]0 & 1 & 0\\[4pt]0 & 0 & -5\end{pmatrix},\quad E_{5}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 3\\[4pt]0 & 1 & 0\\[4pt]0 & 0 & 1\end{pmatrix},\quad E_{6}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]0 & 1 & -1\\[4pt]0 & 0 & 1\end{pmatrix},
e verifica-se que
A=E_{1}E_{2}E_{3}E_{4}E_{5}E_{6}.]

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