O segmento de reta
contém uma densidade linear de carga
. Se o plano
é condutor, determine a densidade de carga superficial em: (a) (
); (b) ( 0 ,
.
Passo 1
Então, o exercício fala de um pedacinho de reta paralelo ao eixo
, em
, de
até
, a uma altura
, com densidade linear de carga
Embaixo, no plano
Aqui a matéria é eletrostática, mais precisamente o “método das imagens” para plano condutor. Para resolver, precisamos lembrar como substituir o efeito do condutor por cargas-espelho e depois calcular o campo resultante bem junto à superfície, daí obter
Passo 2
Teoria do método das imagens para plano condutor em
:
- Substituímos o condutor por uma carga-espelho abaixo do plano.
- Para um condutor aterrado (potencial zero), a carga-espelho tem mesmo módulo, mas sinal trocado, e fica espelhada em relação ao plano.
- Aqui a carga real está em
com densidade , então imaginamos uma linha-espelho em com densidade
4. O campo total acima do plano () é a soma dos campos das duas linhas (real e imagem).
5. A componente normaldá (o sinal “para fora” do condutor já fica certo).
Passo 3
Expressão geral de
em um ponto
devido à densidade distribuída na reta:
Daí
Passo 4
Caso (a):
.
A integral vira (usando simetria):
A integral vira (usando simetria):
Então
Passo 5
Caso (b):
.
Preciso calcular
Preciso calcular
fazendo a troca
$$I
=2\sqrt2 -1-\frac{3}{\sqrt5},.
\sigma(0,1)
=-\frac\pi2;\Bigl(2\sqrt2 -1-\tfrac{3}{\sqrt5}\Bigr)
\quad(\muC/m^2).$$
Resposta
(a)
(b)
(b)