O segmento de reta x=0,-1 <= y <= 1, z=1 contém uma densidade linear de carga rhoL=pi|y| mu C / m. Se o plano z=0 é condutor, determine a densidade de carga superficial em: (a) ( 0,0,0 ); (b) ( 0 , 1,0).

Passo 1

Então, o exercício fala de um pedacinho de reta paralelo ao eixo y, em x=0, de y=-1 até y=1, a uma altura z=1, com densidade linear de carga
rhoL(y)=pi,|y|;muC/m,
Embaixo, no plano z=0, temos um condutor (idealizado como plano perfeitamente condutor e mantido em zero de potencial). A pergunta é: qual a densidade de carga superficial induzida sigma nesse plano nos pontos (a) (0,0,0) e (b) (0,1,0)?
Aqui a matéria é eletrostática, mais precisamente o “método das imagens” para plano condutor. Para resolver, precisamos lembrar como substituir o efeito do condutor por cargas-espelho e depois calcular o campo resultante bem junto à superfície, daí obter sigma via
sigma=varepsilon0,En(com En o campo normal à superfície, do lado do vazio)àí

Passo 2

Teoria do método das imagens para plano condutor em z=0:
  1. Substituímos o condutor por uma carga-espelho abaixo do plano.
  2. Para um condutor aterrado (potencial zero), a carga-espelho tem mesmo módulo, mas sinal trocado, e fica espelhada em relação ao plano.
  3. Aqui a carga real está em z=1 com densidade rhoL(y)=pi|y|, então imaginamos uma linha-espelho em z=-1 com densidade rho'L(y)=-,pi,|y|,
    4. O campo total acima do plano ( z=0^+) é a soma dos campos das duas linhas (real e imagem).
    5. A componente normal Ez(0^+) sigma( x,y )=varepsilon0,Ez(0^+), (o sinal “para fora” do condutor já fica certo).

Passo 3

Expressão geral de Ez em um ponto (0,y0,0) devido à densidade distribuída na reta:
Ez(0^+)=-;pi2,varepsilon0;integraly=-1^1|y|l[(y0-y)^2+1r]^3/2;dy,
Daí
sigma(0,y0) ;=;varepsilon0,Ez(0^+);=;-,pi2;integral-1^1|y|l[(y0-y)^2+1r]^3/2,dy(muC/m^2)

Passo 4

Caso (a): y0=0.
A integral vira (usando simetria):
integral-1^1|y|(y^2+1)^3/2,dy =2integral0^1y(y^2+1)^3/2,dy =2l[1-tfrac1raiz2r]
Então
sigma(0,0) =-pi2;;2l(1-tfrac1raiz2r) =-pil(1-tfrac1raiz2r)(muC/m^2)

Passo 5

Caso (b): y0=1.
Preciso calcular
I=integral-1^1|y|l[(y-1)^2+1r]^3/2,dy
fazendo a troca t=y-1 em pedaços e usando antiderivada adequada, chega-se a
$$I
=2\sqrt2 -1-\frac{3}{\sqrt5},. I =2raiz2 -1-3raiz5, \sigma(0,1)
=-\frac\pi2;\Bigl(2\sqrt2 -1-\tfrac{3}{\sqrt5}\Bigr)
\quad(\muC/m^2).$$

Resposta

(a) sigma(0,0) = -,pil(1-tfrac1raiz2r);muC/m^2
(b) sigma(0,1) = -,pi2;l(2raiz2 ;-;1;-;tfrac3raiz5r);muC/m^2

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