No que segue resolva os seguintes Problemas de Valor Inicial:
(a) Resolva o PVI: \left\{\begin{array}{l}2 y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}-3 y=0 \\\ y(0)=1 \\\ y^{\prime}(0)=0 .\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI) abaixo e pede: encontrar a solução y(x) que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais.
Informações relevantes extraídas do enunciado: \;2 é o coeficiente de y^{\prime\prime}, \;-5 é o coeficiente de y^{\prime} e \;-3 é o coeficiente de y. As condições iniciais estão dadas em x=0.]
Passo 2
Método de solução (explicação didática):
Para equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes, uma técnica padrão é procurar soluções da forma \;y(x)=e^{r x}, onde r é um número que vamos determinar. A ideia é substituir \;y=e^{r x} na equação diferencial e obter uma equação algébrica para r — essa equação chama-se equação característica. Vou fazer isso passo a passo para este problema.
Passo 3
Formando a equação característica:
Se \;y=e^{r x} então \;y^{\prime}=r e^{r x} e \;y^{\prime\prime}=r^{2} e^{r x}.
Substituindo na equação \;2y^{\prime\prime}-5y^{\prime}-3y=0 obtemos, fatorando e^{r x}\neq0,
2r^{2}-5r-3=0.
Essa é a equação característica quadrática em r.
Passo 4
Resolvendo a equação característica (passo a passo):
A equação é \;2r^{2}-5r-3=0.
Usamos a fórmula quadrática \;r=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} com a=2, b=-5, c=-3.
Calculemos o discriminante:
Forma geral da solução (explicação do porquê):
Como a equação característica tem duas raízes reais distintas r_{1} e r_{2}, a solução geral da equação diferencial homogênea é uma combinação linear das exponenciais correspondentes:
y(x)=C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x}.
Substituindo as raízes que encontramos:
y(x)=C_{1}e^{3x}+C_{2}e^{-x/2},
onde C_{1} e C_{2} são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 6
Derivando a solução geral para aplicar a condição em y^{\prime}(0):
Diferenciando \;y(x)=C_{1}e^{3x}+C_{2}e^{-x/2} obtemos