No que segue resolva os seguintes Problemas de Valor Inicial:
(a) Resolva o PVI: \left\{\begin{array}{l}2 y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}-3 y=0 \\\ y(0)=1 \\\ y^{\prime}(0)=0 .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI) abaixo e pede: encontrar a solução y(x) que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais.
\left\{\begin{array}{l} 2\,y^{\prime\prime}-5\,y^{\prime}-3\,y=0,\\[4pt] y(0)=1,\\[4pt] y^{\prime}(0)=0. \end{array}\right.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\;2 é o coeficiente de y^{\prime\prime}, \;-5 é o coeficiente de y^{\prime} e \;-3 é o coeficiente de y. As condições iniciais estão dadas em x=0.]

Passo 2

Método de solução (explicação didática):
Para equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes, uma técnica padrão é procurar soluções da forma \;y(x)=e^{r x}, onde r é um número que vamos determinar. A ideia é substituir \;y=e^{r x} na equação diferencial e obter uma equação algébrica para r — essa equação chama-se equação característica. Vou fazer isso passo a passo para este problema.

Passo 3

Formando a equação característica:
Se \;y=e^{r x} então \;y^{\prime}=r e^{r x} e \;y^{\prime\prime}=r^{2} e^{r x}.
Substituindo na equação \;2y^{\prime\prime}-5y^{\prime}-3y=0 obtemos, fatorando e^{r x}\neq0,
2r^{2}-5r-3=0.
Essa é a equação característica quadrática em r.

Passo 4

Resolvendo a equação característica (passo a passo):
A equação é \;2r^{2}-5r-3=0.
Usamos a fórmula quadrática \;r=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} com a=2, b=-5, c=-3.
Calculemos o discriminante:
b^{2}-4ac = (-5)^{2}-4\cdot 2\cdot(-3) = 25 + 24 = 49.
Então
r=\dfrac{5\pm\sqrt{49}}{4}=\dfrac{5\pm 7}{4}.
Portanto os dois raízes são
r_{1}=\dfrac{5+7}{4}=3,\qquad r_{2}=\dfrac{5-7}{4}=-\dfrac{1}{2}.

Passo 5

Forma geral da solução (explicação do porquê):
Como a equação característica tem duas raízes reais distintas r_{1} e r_{2}, a solução geral da equação diferencial homogênea é uma combinação linear das exponenciais correspondentes:
y(x)=C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x}.
Substituindo as raízes que encontramos:
y(x)=C_{1}e^{3x}+C_{2}e^{-x/2},
onde C_{1} e C_{2} são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 6

Derivando a solução geral para aplicar a condição em y^{\prime}(0):
Diferenciando \;y(x)=C_{1}e^{3x}+C_{2}e^{-x/2} obtemos
y^{\prime}(x)=3C_{1}e^{3x}-\dfrac{1}{2}C_{2}e^{-x/2}.
Agora vamos aplicar as condições iniciais em x=0.

Passo 7

Aplicando y(0)=1 e y^{\prime}(0)=0 e montando o sistema:
Substituindo x=0 em y(x):
y(0)=C_{1}+C_{2}=1.
Substituindo x=0 em y^{\prime}(x):
y^{\prime}(0)=3C_{1}-\dfrac{1}{2}C_{2}=0.
Assim temos o sistema linear para C_{1},C_{2}:
\begin{cases} C_{1}+C_{2}=1,\\[4pt] 3C_{1}-\dfrac{1}{2}C_{2}=0. \end{cases}]

Passo 8

Resolvendo o sistema para encontrar C_{1} e C_{2} (álgebra detalhada):
Multiplico a segunda equação por 2 para eliminar o denominador:
6C_{1}-C_{2}=0 \quad\Rightarrow\quad C_{2}=6C_{1}.
Substituo C_{2} na primeira equação:
C_{1}+6C_{1}=1 \quad\Rightarrow\quad 7C_{1}=1 \quad\Rightarrow\quad C_{1}=\dfrac{1}{7}.
Então
C_{2}=6C_{1}=6\cdot\dfrac{1}{7}=\dfrac{6}{7}.

Passo 9

Escrevendo a solução particular que satisfaz o PVI e verificação rápida:
Substituindo C_{1} e C_{2} na solução geral, obtemos
y(x)=\dfrac{1}{7}e^{3x}+\dfrac{6}{7}e^{-x/2}.
Podemos verificar rapidamente as condições iniciais: em x=0 temos y(0)=\tfrac{1}{7}+\tfrac{6}{7}=1 e
y^{\prime}(0)=3\cdot\tfrac{1}{7}-\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{6}{7}=\tfrac{3}{7}-\tfrac{3}{7}=0,
logo as condições são satisfeitas.

Resposta

y(x)=\dfrac{1}{7}e^{3x}+\dfrac{6}{7}e^{-x/2}

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