No que segue resolva os seguintes Problemas de Valor Inicial:
(b) Resolva o PVI: \left\{\begin{array}{l}4 y^{\prime \prime}+12 y^{\prime}+9 y=0 \\\ y(0)=1 \\\ y^{\prime}(0)=0 .\end{array}\right.
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos (o que o problema pede): \n
O problema pede resolver o problema de valor inicial (PVI)
Informações relevantes dadas pelo enunciado: \;4, \;12 e \;9 aparecem como coeficientes constantes na equação diferencial de segunda ordem, e temos duas condições iniciais em x=0 para y e y'. A equação é homogênea (lado direito igual a zero).]
Passo 2
Ideia do método (sem resolver ainda): \n
Para equações lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes da forma
a y''+b y'+c y=0
a técnica padrão é procurar soluções da forma y=e^{r x}. Substituindo y=e^{r x} obtém-se a equação algébrica característica
a r^{2}+b r+c=0,
cujos raízes r determinam as soluções. Se as raízes são distintas reais, as soluções são e^{r_1 x} e e^{r_2 x}. Se há raiz dupla r (discriminante zero), as soluções independentes são e^{r x} e x e^{r x}, então a solução geral é (C_1+C_2 x)e^{r x}. Vou aplicar esse procedimento ao nosso caso.
Passo 3
Formação da equação característica e cálculo do discriminante: \n
Para a equação dada, a equação característica é
4 r^{2}+12 r+9=0.
Calculo do discriminante:
\Delta = 12^{2}-4\cdot 4\cdot 9 = 144-144=0.
Como \Delta=0, temos uma raiz real dupla.
Passo 4
Cálculo da raiz dupla: \n
A raiz (única, com multiplicidade 2) é
Forma da solução geral usando a raiz dupla e explicação por que usar x e^{r x}: \n
Quando a raiz r da característica tem multiplicidade 2, as soluções independentes são e^{r x} e x e^{r x}. Assim a solução geral da equação diferencial é
y(x)=(C_{1}+C_{2}x)e^{r x}.
Substituindo r=-\dfrac{3}{2} obtemos
y(x)=\bigl(C_{1}+C_{2}x\bigr)e^{-\frac{3}{2}x}.
Obs.: uma forma rápida de verificar que x e^{r x} é solução quando r é raiz dupla é substituir y=x e^{r x} na equação diferencial e verificar que satisfaz a equação (fica zero), ou usar o método de redução de ordem. Não precisa decorar, basta lembrar: raiz dupla → fator x multiplicando e^{r x}.
Passo 6
Aplicar a condição inicial y(0)=1 para encontrar C_{1}: \n
Avalio y(0):
y(0)=(C_{1}+C_{2}\cdot 0)e^{0}=C_{1}.
Como y(0)=1, segue
C_{1}=1.
Agora a solução geral com C_{1} conhecido é
y(x)=\bigl(1+C_{2}x\bigr)e^{-\frac{3}{2}x}.
Passo 7
Calcular y'(x) explicitamente (passo a passo) para usar y'(0)=0: \n
Derivo y(x)=\bigl(1+C_{2}x\bigr)e^{-\frac{3}{2}x}. Uso a regra do produto: se y=(u v) então y'=u'v+uv'. Aqui u=1+C_{2}x e v=e^{-\frac{3}{2}x}. Então