No que segue resolva os seguintes Problemas de Valor Inicial:
(b) Resolva o PVI: \left\{\begin{array}{l}4 y^{\prime \prime}+12 y^{\prime}+9 y=0 \\\ y(0)=1 \\\ y^{\prime}(0)=0 .\end{array}\right.

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (o que o problema pede): \n
O problema pede resolver o problema de valor inicial (PVI)
\begin{cases} 4y''+12y'+9y=0,\\[4pt] y(0)=1,\\[4pt] y'(0)=0. \end{cases}
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\;4, \;12 e \;9 aparecem como coeficientes constantes na equação diferencial de segunda ordem, e temos duas condições iniciais em x=0 para y e y'. A equação é homogênea (lado direito igual a zero).]

Passo 2

Ideia do método (sem resolver ainda): \n
Para equações lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes da forma
a y''+b y'+c y=0
a técnica padrão é procurar soluções da forma y=e^{r x}. Substituindo y=e^{r x} obtém-se a equação algébrica característica
a r^{2}+b r+c=0,
cujos raízes r determinam as soluções. Se as raízes são distintas reais, as soluções são e^{r_1 x} e e^{r_2 x}. Se há raiz dupla r (discriminante zero), as soluções independentes são e^{r x} e x e^{r x}, então a solução geral é (C_1+C_2 x)e^{r x}. Vou aplicar esse procedimento ao nosso caso.

Passo 3

Formação da equação característica e cálculo do discriminante: \n
Para a equação dada, a equação característica é
4 r^{2}+12 r+9=0.
Calculo do discriminante:
\Delta = 12^{2}-4\cdot 4\cdot 9 = 144-144=0.
Como \Delta=0, temos uma raiz real dupla.

Passo 4

Cálculo da raiz dupla: \n
A raiz (única, com multiplicidade 2) é
r=\frac{-12}{2\cdot 4}=\frac{-12}{8}=-\frac{3}{2}.

Passo 5

Forma da solução geral usando a raiz dupla e explicação por que usar x e^{r x}: \n
Quando a raiz r da característica tem multiplicidade 2, as soluções independentes são e^{r x} e x e^{r x}. Assim a solução geral da equação diferencial é
y(x)=(C_{1}+C_{2}x)e^{r x}.
Substituindo r=-\dfrac{3}{2} obtemos
y(x)=\bigl(C_{1}+C_{2}x\bigr)e^{-\frac{3}{2}x}.
Obs.: uma forma rápida de verificar que x e^{r x} é solução quando r é raiz dupla é substituir y=x e^{r x} na equação diferencial e verificar que satisfaz a equação (fica zero), ou usar o método de redução de ordem. Não precisa decorar, basta lembrar: raiz dupla → fator x multiplicando e^{r x}.

Passo 6

Aplicar a condição inicial y(0)=1 para encontrar C_{1}: \n
Avalio y(0):
y(0)=(C_{1}+C_{2}\cdot 0)e^{0}=C_{1}.
Como y(0)=1, segue
C_{1}=1.
Agora a solução geral com C_{1} conhecido é
y(x)=\bigl(1+C_{2}x\bigr)e^{-\frac{3}{2}x}.

Passo 7

Calcular y'(x) explicitamente (passo a passo) para usar y'(0)=0: \n
Derivo y(x)=\bigl(1+C_{2}x\bigr)e^{-\frac{3}{2}x}. Uso a regra do produto: se y=(u v) então y'=u'v+uv'. Aqui u=1+C_{2}x e v=e^{-\frac{3}{2}x}. Então
u'=C_{2},\qquad v'=-\frac{3}{2}e^{-\frac{3}{2}x}.
Portanto
y'(x)=C_{2}e^{-\frac{3}{2}x}+\bigl(1+C_{2}x\bigr)\Bigl(-\frac{3}{2}e^{-\frac{3}{2}x}\Bigr).
Fatorando e^{-\frac{3}{2}x},
y'(x)=\Bigl(C_{2}-\frac{3}{2}\bigl(1+C_{2}x\bigr)\Bigr)e^{-\frac{3}{2}x}.
Em particular, em x=0,
y'(0)=\bigl(C_{2}-\tfrac{3}{2}\cdot 1\bigr)e^{0}=C_{2}-\frac{3}{2}.

Passo 8

Aplicar y'(0)=0 para encontrar C_{2}: \n
Da expressão anterior temos
y'(0)=C_{2}-\frac{3}{2}=0,
logo
C_{2}=\frac{3}{2}.

Passo 9

Escrever a solução final do PVI: \n
Substituindo C_{1}=1 e C_{2}=\dfrac{3}{2} na solução geral obtemos
y(x)=\Bigl(1+\frac{3}{2}x\Bigr)e^{-\frac{3}{2}x}.

Resposta

y(x)=\Bigl(1+\frac{3}{2}x\Bigr)e^{-\frac{3}{2}x}.

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