No que segue resolva os seguintes Problemas de Valor Inicial:
(c) Resolva o PVI: \left\{\begin{array}{l}4 y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+17 y=0 \\\ y(0)=-1 \\\ y^{\prime}(0)=2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o PVI e pede a solução da equação diferencial com condições iniciais:
\left\{ \begin{array}{l} 4y''+4y'+17y=0,\\[4pt] y(0)=-1,\\[4pt] y'(0)=2. \end{array} \right.
Informações relevantes fornecidas:
\;4y''+4y'+17y=0 é uma equação diferencial ordinária linear homogênea de coeficientes constantes; as condições iniciais são \;y(0)=-1 e \;y'(0)=2.
A partir daqui vamos encontrar a solução geral da equação e depois determinar as constantes usando as condições iniciais.]

Passo 2

Método: para equações lineares com coeficientes constantes assumimos uma solução do tipo exponencial. Ou seja, tentamos \;y(t)=e^{rt} e substituímos na equação para obter a equação característica (polinomial) em r. Esta é a técnica padrão porque a derivada de e^{rt} é proporcional a e^{rt}, o que transforma a EDO em uma equação algébrica.

Passo 3

Substituindo y=e^{rt} na equação \;4y''+4y'+17y=0 obtemos a equação característica:
4r^{2}+4r+17=0.

Passo 4

Vamos resolver a quadrática \;4r^{2}+4r+17=0. Calculamos o discriminante:
\Delta = 4^{2}-4\cdot 4\cdot 17 = 16-272 = -256.
Como \Delta<0, as raízes são complexas conjugadas. As raízes são
r = \frac{-4 \pm \sqrt{-256}}{2\cdot 4} = \frac{-4 \pm 16i}{8} = -\tfrac{1}{2} \pm 2i.

Passo 5

Quando as raízes da equação característica são da forma \;\alpha\pm\beta i (números complexos conjugados), a solução geral real da EDO homogênea é
y(t)=e^{\alpha t}\big(C_{1}\cos(\beta t)+C_{2}\sin(\beta t)\big),
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais a determinar pelas condições iniciais. Aqui \alpha=-\tfrac{1}{2} e \beta=2. Portanto a solução geral é
y(t)=e^{-t/2}\big(C_{1}\cos(2t)+C_{2}\sin(2t)\big).

Passo 6

Agora precisamos do y'(t) para aplicar a condição inicial sobre a derivada. Diferenciamos usando a regra do produto e as derivadas de \cos e \sin:
y(t)=e^{-t/2}\big(C_{1}\cos(2t)+C_{2}\sin(2t)\big).
Derivando,
y'(t)=\frac{d}{dt}\big(e^{-t/2}\big)\big(C_{1}\cos(2t)+C_{2}\sin(2t)\big) + e^{-t/2}\frac{d}{dt}\big(C_{1}\cos(2t)+C_{2}\sin(2t)\big).
Agora calcule cada derivada separadamente:
\frac{d}{dt}\big(e^{-t/2}\big)=-\tfrac{1}{2}e^{-t/2},
\frac{d}{dt}\big(C_{1}\cos(2t)+C_{2}\sin(2t)\big)=-2C_{1}\sin(2t)+2C_{2}\cos(2t).
Substituindo:
y'(t)=e^{-t/2}\Big(-\tfrac{1}{2}\big(C_{1}\cos(2t)+C_{2}\sin(2t)\big) -2C_{1}\sin(2t)+2C_{2}\cos(2t)\Big).

Passo 7

Simplificamos os coeficientes de \cos(2t) e \sin(2t) dentro do colchete:
coeficiente de \cos(2t): -\tfrac{1}{2}C_{1}+2C_{2},
coeficiente de \sin(2t): -\tfrac{1}{2}C_{2}-2C_{1}.
Logo
y'(t)=e^{-t/2}\Big(\big(-\tfrac{1}{2}C_{1}+2C_{2}\big)\cos(2t) +\big(-2C_{1}-\tfrac{1}{2}C_{2}\big)\sin(2t)\Big).

Passo 8

Aplicamos a condição inicial y(0)=-1. Avaliando y(0):
y(0)=e^{0}\big(C_{1}\cos 0 + C_{2}\sin 0\big)=C_{1}\cdot 1 + C_{2}\cdot 0 = C_{1}.
Portanto
C_{1}=-1.

Passo 9

Aplicamos a condição y'(0)=2. Avaliando y'(0) usando a expressão do Passo 7 e lembrando \cos 0=1,\;\sin 0=0,\;e^{0}=1:
y'(0) = -\tfrac{1}{2}C_{1}+2C_{2}.
Igualando a 2:
-\tfrac{1}{2}C_{1}+2C_{2}=2.
Substituindo C_{1}=-1:
-\tfrac{1}{2}(-1)+2C_{2}=2 \quad\Rightarrow\quad \tfrac{1}{2}+2C_{2}=2.
Isolando C_{2}:
2C_{2}=2-\tfrac{1}{2}=\tfrac{3}{2}\quad\Rightarrow\quad C_{2}=\tfrac{3}{4}.

Passo 10

Substituímos C_{1}=-1 e C_{2}=\tfrac{3}{4} na solução geral do Passo 5 para obter a solução particular do PVI:
y(t)=e^{-t/2}\Big(-\cos(2t)+\tfrac{3}{4}\sin(2t)\Big).
Isso é a solução que satisfaz tanto a EDO quanto as condições iniciais.

Resposta

y(t)=e^{-t/2}\Big(-\cos(2t)+\tfrac{3}{4}\sin(2t)\Big)

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