No que segue resolva os seguintes Problemas de Valor Inicial:
(c) Resolva o PVI: \left\{\begin{array}{l}4 y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+17 y=0 \\\ y(0)=-1 \\\ y^{\prime}(0)=2\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá o PVI e pede a solução da equação diferencial com condições iniciais:
Informações relevantes fornecidas: \;4y''+4y'+17y=0 é uma equação diferencial ordinária linear homogênea de coeficientes constantes; as condições iniciais são \;y(0)=-1 e \;y'(0)=2.
A partir daqui vamos encontrar a solução geral da equação e depois determinar as constantes usando as condições iniciais.]
Passo 2
Método: para equações lineares com coeficientes constantes assumimos uma solução do tipo exponencial. Ou seja, tentamos \;y(t)=e^{rt} e substituímos na equação para obter a equação característica (polinomial) em r. Esta é a técnica padrão porque a derivada de e^{rt} é proporcional a e^{rt}, o que transforma a EDO em uma equação algébrica.
Passo 3
Substituindo y=e^{rt} na equação \;4y''+4y'+17y=0 obtemos a equação característica:
4r^{2}+4r+17=0.
Passo 4
Vamos resolver a quadrática \;4r^{2}+4r+17=0. Calculamos o discriminante:
\Delta = 4^{2}-4\cdot 4\cdot 17 = 16-272 = -256.
Como \Delta<0, as raízes são complexas conjugadas. As raízes são
Simplificamos os coeficientes de \cos(2t) e \sin(2t) dentro do colchete:
coeficiente de \cos(2t): -\tfrac{1}{2}C_{1}+2C_{2},
coeficiente de \sin(2t): -\tfrac{1}{2}C_{2}-2C_{1}.
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