O seguinte conjunto de dados apresentados ao Sub-Comitê de seguradoras de automóveis mostra características comparativas entre os carros (separados por categoria de peso) e a percentagem de ocorrência de sinistro. Encontre a reta de mínimos quadrados que aproxima esses dados e encontre a porcentagem baseado no manual de um carro que informa que o peso do automóvel é 1000 kg . Considere 
 .
| Tipo | Peso médio | Porcentagem de ocorrência | 
|---|---|---|
| De passeio luxo padrão | 4800 lb | 3,1 | 
| De passeio intermediário padrão | 3700 lb | 4,0 | 
| De passeio econômico padrão | 3400 lb | 5,2 | 
| De passeio compacto | 2800 lb | 6,4 | 
| Compacto importado | 1900 lb | 9,6 | 
Passo 1
Então, a gente tem aqui uma tabela que mostra diferentes tipos de carros, o peso médio deles em libras (lb) e a porcentagem de ocorrência de sinistros (acidentes). A missão é encontrar uma reta que melhor se encaixe nesses dados usando o método dos mínimos quadrados e, depois, prever qual seria essa porcentagem de sinistros para um carro que pesa 1000 kg. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre regressão linear e como aplicar o método dos mínimos quadrados para encontrar a melhor reta que representa esses dados.
Passo 2
Primeiro, vamos converter o peso dos carros de libras para quilogramas, já que a gente vai precisar prever para 1000 kg e 1 libra (lb) equivale a 0,45 kg.
Vamos fazer essa conversão:
Então:
- 4800 lb × 0,45 = 2160 kg
 - 3700 lb × 0,45 = 1665 kg
 - 3400 lb × 0,45 = 1530 kg
 - 2800 lb × 0,45 = 1260 kg
 - 1900 lb × 0,45 = 855 kg
 
Agora, nossa tabela fica assim:
| Tipo | Peso médio (kg) | Porcentagem de ocorrência | 
|---|---|---|
| De passeio luxo padrão | 2160 | 3,1 | 
| De passeio intermediário padrão | 1665 | 4,0 | 
| De passeio econômico padrão | 1530 | 5,2 | 
| De passeio compacto | 1260 | 6,4 | 
| Compacto importado | 855 | 9,6 | 
Passo 3
Agora, vamos encontrar a reta de regressão linear usando o método dos mínimos quadrados. Mas, calma aí, o que é isso?
Regressão Linear: É uma técnica estatística que busca estabelecer uma relação linear entre duas variáveis. No nosso caso, queremos ver como o peso do carro (em kg) está relacionado com a porcentagem de sinistros.
Método dos Mínimos Quadrados: É uma maneira de encontrar a melhor reta que minimiza a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores previstos pela reta.
A equação da reta fica assim:
Onde:
- 
é a porcentagem de ocorrência de sinistros.  - 
é o peso do carro.  - 
é o coeficiente angular.  - 
é o coeficiente linear.  
Para encontrar 
  e 
 , usamos as seguintes fórmulas:
Onde 
  é o número de observações.
Vamos calcular passo a passo:
Primeiro, listamos nossos valores:
Agora, calculamos as somas necessárias:
Agora, aplicamos as fórmulas:
Então, a equação da reta é:
Resposta
A reta de mínimos quadrados que aproxima os dados é:
Assim, para um carro que pesa 1000 kg, a porcentagem de ocorrência de sinistros estimada é:
Portanto, a porcentagem estimada de sinistros para um carro com 1000 kg é 8,14%.