1 pt. É correto afirmar que um estado plano de tensão, em geral, resultará em um estado plano de deformação.
a) Verdadeiro.
b) Falso.

Passo 1

O enunciado pergunta se a seguinte afirmação é correta: “Um estado plano de tensão, em geral, resultará em um estado plano de deformação.”
Informações relevantes dadas (implícitas no enunciado):
  • “Estado plano de tensão” significa que todas as componentes de tensão fora do plano são nulas, ou seja, \sigma_{z}=0, \tau_{xz}=0, \tau_{yz}=0.
  • “Estado plano de deformação” significa que todas as componentes de deformação fora do plano são nulas, ou seja, \varepsilon_{z}=0, \gamma_{xz}=0, \gamma_{yz}=0.
    A pergunta quer saber se, partindo de \sigma_{z}=0 (estado plano de tensão), pode-se afirmar, em geral, que \varepsilon_{z}=0 (estado plano de deformação).

Passo 2

Vamos lembrar o que relaciona tensões e deformações numa matéria linear elástica isotrópica (Lei de Hooke 3D). Essa relação nos permite calcular as deformações a partir das tensões. Para um material isotrópico linear, as deformações normais são dadas por:
\varepsilon_x=\frac{1}{E}\bigl(\sigma_x-\nu(\sigma_y+\sigma_z)\bigr),
\varepsilon_y=\frac{1}{E}\bigl(\sigma_y-\nu(\sigma_x+\sigma_z)\bigr),
\varepsilon_z=\frac{1}{E}\bigl(\sigma_z-\nu(\sigma_x+\sigma_y)\bigr),
onde E é o módulo de Young e \nu é o coeficiente de Poisson.
Explico cada termo: \varepsilon_z é a deformação na direção z (variação relativa de comprimento nessa direção); \sigma_x,\sigma_y,\sigma_z são as tensões normais nas direções x,y,z; o termo com \nu representa o efeito de Poisson — as tensões em x e y provocam contração/alongamento em z.

Passo 3

Agora aplicamos a condição de “estado plano de tensão”, ou seja, colocamos \sigma_z=0 na expressão de \varepsilon_z. Substituindo em
\varepsilon_z=\frac{1}{E}\bigl(\sigma_z-\nu(\sigma_x+\sigma_y)\bigr),
obtemos:
\varepsilon_z=\frac{1}{E}\bigl(0-\nu(\sigma_x+\sigma_y)\bigr)=-\frac{\nu}{E}(\sigma_x+\sigma_y).

Passo 4

Interpretação do resultado: a expressão \varepsilon_z=-\dfrac{\nu}{E}(\sigma_x+\sigma_y) mostra que, em geral, \varepsilon_z \neq 0 quando há tensões no plano ( \sigma_x e/ou \sigma_y não nulas), porque o efeito de Poisson causa deformação na direcção z. Só em casos especiais teremos \varepsilon_z=0, por exemplo se:
  • \sigma_x+\sigma_y=0 (soma das tensões no plano nula), ou
  • \nu=0 (material sem efeito de Poisson, caso muito especial), ou
  • outras condições de contorno que imponham \varepsilon_z=0 (não é o caso “geral”).
    Um exemplo numérico para fixar a ideia: escolha \sigma_x=100\\ \text{MPa}, \sigma_y=0, \nu=0{,}3 e E=210\\ \text{GPa}. Então
\varepsilon_z=-\frac{0{,}3}{210\times10^{3}}\times 100 = -1{,}4286\times10^{-4},
ou seja, não nulo — há deformação na direção z. Isso mostra concretamente que um estado plano de tensão normalmente gera deformação fora do plano.

Passo 5

Conclusão didática e intuitiva: plano de tensão significa apenas que as tensões fora do plano são zero; isso não impede que as tensões no plano causem deformação fora do plano via o efeito de Poisson. Portanto, não é verdade em geral que um estado plano de tensão implique estado plano de deformação. Há exceções especiais, mas a afirmativa pedida como “em geral” é falsa. (Força motivadora: você chegou até aqui entendendo a fórmula fundamental que revela por que a afirmativa falha — ótimo trabalho!)

Resposta

b) Falso.

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