O seguinte estado de deformação foi medido na superfície de uma placa fina. Sabendo que a superfície da placa está livre de tensão, determine (a) a direção e a intensidade das deformações principais, (b) a deformação de cisalhamento máxima no plano das deformações e (c) a deformação de cisalhamento máxima. (Use
.)
7.137
+160 \mu
7.137
+160 \mu
Passo 1
O enunciado diz: "O seguinte estado de deformação foi medido na superfície de uma placa fina. Sabendo que a superfície da placa está livre de tensão, determine (a) a direção e a intensidade das deformações principais, (b) a deformação de cisalhamento máxima no plano das deformações e (c) a deformação de cisalhamento máxima. (Use
.) 7.137 +160
".\n
Informações explícitas que consigo identificar aqui:
Informações explícitas que consigo identificar aqui:
- Há uma indicação de um valor
(interpreto isso como , mas não tenho certeza — o enunciado original provavelmente vem com uma figura que mostra , e ). Eu apenas “peguei” o valor do texto que você enviou.\n
O que falta (dados necessários para resolver numericamente): - Não foi fornecido (nem aparece no texto enviado) o valor de
. - Não foi fornecido o valor de
(a deformação de cisalhamento de engenharia no plano). - Se havia uma figura com setas/valores, ela não foi enviada; sem ela não posso assumir os demais números.\n
Por isso: com apenas o possível valoreu não tenho informação suficiente para calcular numericamente as deformações principais, os ângulos e as deformações de cisalhamento pedidas. A resolução numérica exige explicitamente os três componentes in-plane: . A seguir eu explico passo a passo (didático) como resolver o problema assim que os outros dois valores estiverem disponíveis — ou, se você enviar a figura/valores, eu aplico direto.
Passo 2
Entendimento físico e relação devido à placa livre de tensão na superfície (plane stress).\n
Quando a superfície da placa está livre de tensão (isto é, ), estamos na condição chamada de “plane stress”. Nessa situação a componente de deformação normal à superfície (
) não é zero em geral; ela é relacionada às deformações no plano por contrato de Poisson. A fórmula linear de elasticidade (hipótese de pequena deformação, material isotrópico) dá:
Quando a superfície da placa está livre de tensão (isto é,
onde
é o coeficiente de Poisson. Aqui nos foi dado
.\n
Observação importante sobre grandezas:
Observação importante sobre grandezas:
-
e são as deformações normais na direção e , medidas em (por exemplo) microstrain ( ). -
é a deformação de cisalhamento de engenharia no plano — é a soma das mudanças de ângulo medidas (nem é o dobro de nada; use diretamente nas fórmulas que vou mostrar).
Passo 3
Fórmulas para achar as deformações principais
e
(intensidades) e explicação do que representam.\n
As deformações principais no plano (autovalores do tensor de deformação plano) são as deformações normais em direções onde o cisalhamento é zero. Para o caso plano, elas são dadas por:
As deformações principais no plano (autovalores do tensor de deformação plano) são as deformações normais em direções onde o cisalhamento é zero. Para o caso plano, elas são dadas por:
Explicando cada termo:
-
é a média das deformações normais — desloca o centro. - O radical mede a “distância” até as principais devido à diferença entre
e e ao cisalhamento .\n
Maneira prática de usar: substitua os valores conhecidos de(todos na mesma unidade, ex.: ) nessa fórmula e calcule (o sinal +) e (o sinal −). \n
Observação: haverá três deformações principais no problema 3D:(estas duas no plano) e (fora do plano) — útil para a parte (c) abaixo.
Passo 4
Fórmula para a direção das deformações principais (ângulo
em relação ao eixo
).\n
O ângulo (medido a partir do eixo
, no sentido de rotação positivo adotado no enunciado — normalmente sentido anti-horário) que orienta o eixo da primeira deformação principal satisfaz:
O ângulo
Como isso funciona na prática:
- Calcule o argumento da tangente
. - Use a função arco-tangente (atenção ao quadrante: é melhor usar a função
que considera sinais do numerador e denominador para retornar o ângulo correto). - Depois divida por 2 para obter
. Esse dá a direção da deformação principal associada a (ou a ), dependendo do ajuste de quadrante; você pode checar trocando e no radical para ver qual é a maior.\n
Dica prática para prova: calcule primeiro, avalie com e divida por . Sempre verifique colocando na fórmula de transformação para ver se o cisalhamento nesse ângulo zera (cheque rápido).
Passo 5
Cisalhamento máximo no plano das deformações (parte b) — fórmula e interpretação.\n
A máxima deformação de cisalhamento que ocorre em qualquer plano contido no plano (ou seja, máxima cisalhamento in-plane) tem magnitude:
A máxima deformação de cisalhamento que ocorre em qualquer plano contido no plano
Observação: algumas fontes definem o “cinhalhamento de engenharia máximo” como o valor da diferença entre deformações principais, outras como a metade; aqui estamos usando a convenção consistente com as fórmulas anteriores: note que
portanto a meia-diferença é
Se você quer a deformação de cisalhamento máxima no plano como valor de engenharia
, use a fórmula com o fator
(primeira fórmula). Se a convenção da sua disciplina pede “meio-cisalhamento” (alguns livros usam
vs
), checar qual é a convenção. No enunciado típico de materiais, pedem
(eng.), então use a primeira fórmula.
Passo 6
Cisalhamento máximo absoluto (3D) — parte (c).\n
Para obter a deformação de cisalhamento máxima absoluta possível (considerando as três direções principais), primeiro determine as três deformações principais:
Para obter a deformação de cisalhamento máxima absoluta possível (considerando as três direções principais), primeiro determine as três deformações principais:
A máxima deformação de cisalhamento absoluta é então
Em termos de engenharia de deformação (diferença de normais), o maior valor de cisalhamento (como quantidade comparável às outras) costuma ser tomado como:
Se você quiser a “metade” (algumas convenções usam
como medida), então divida por
. Verifique a convenção pedida no seu curso; muitos exercícios pedem a diferença absoluta máxima e depois dividem por
para obter o valor de cisalhamento “relativo” entre planos. Em enunciados de resistência/elasticidade, normalmente a resposta pedida para “deformação de cisalhamento máxima” é o valor de engenharia
, isto é,
.
Passo 7
Resumo prático do procedimento passo-a-passo (para aplicar na prova, sem calculadora excessiva):\n
- Anote os três componentes experimentais:
.\n - Calcule
usando .\n - Calcule média
e o termo radical .\n - Ache
e .\n - Ache
.\n - Cisalhamento máximo no plano:
.\n - Cisalhamento máximo 3D: calcule as três diferenças
, , e tome a maior.\n
Se você me confirmar os valores numéricos dee (ou enviar a figura do problema), eu faço todo o cálculo numérico detalhado (com unidades ), mostro cada conta e dou as respostas pedidas (a direção e intensidade das deformações principais, a deformação de cisalhamento máxima in-plane e a deformação de cisalhamento máxima 3D).
Resposta
Não é possível fornecer os valores numéricos pedidos porque faltam no enunciado os componentes
e
(ou a figura com esses valores). Se
for o único dado presente, ainda assim falta
e
. Envie esses valores ou a figura e eu resolvo passo a passo com números.