O seguinte estado de deformação foi medido na superfície de uma placa fina. Sabendo que a superfície da placa está livre de tensão, determine (a) a direção e a intensidade das deformações principais, (b) a deformação de cisalhamento máxima no plano das deformações e (c) a deformação de cisalhamento máxima. (Use \nu=1 / 3.)
7.137
+160 \mu

Passo 1

O enunciado diz: "O seguinte estado de deformação foi medido na superfície de uma placa fina. Sabendo que a superfície da placa está livre de tensão, determine (a) a direção e a intensidade das deformações principais, (b) a deformação de cisalhamento máxima no plano das deformações e (c) a deformação de cisalhamento máxima. (Use \nu=1/3.) 7.137 +160 \mu".\n
Informações explícitas que consigo identificar aqui:
  • Há uma indicação de um valor +160\\ \mu (interpreto isso como \varepsilon_x = +160\\ \mu\varepsilon, mas não tenho certeza — o enunciado original provavelmente vem com uma figura que mostra \varepsilon_x, \varepsilon_y e \gamma_{xy}). Eu apenas “peguei” o valor +160\\ \mu do texto que você enviou.\n
    O que falta (dados necessários para resolver numericamente):
  • Não foi fornecido (nem aparece no texto enviado) o valor de \varepsilon_y.
  • Não foi fornecido o valor de \gamma_{xy} (a deformação de cisalhamento de engenharia no plano).
  • Se havia uma figura com setas/valores, ela não foi enviada; sem ela não posso assumir os demais números.\n
    Por isso: com apenas o possível valor \varepsilon_x=+160\\ \mu\varepsilon eu não tenho informação suficiente para calcular numericamente as deformações principais, os ângulos e as deformações de cisalhamento pedidas. A resolução numérica exige explicitamente os três componentes in-plane: \varepsilon_x,\\ \varepsilon_y,\\ \gamma_{xy}. A seguir eu explico passo a passo (didático) como resolver o problema assim que os outros dois valores estiverem disponíveis — ou, se você enviar a figura/valores, eu aplico direto.

Passo 2

Entendimento físico e relação devido à placa livre de tensão na superfície (plane stress).\n
Quando a superfície da placa está livre de tensão (isto é, \sigma_z=0), estamos na condição chamada de “plane stress”. Nessa situação a componente de deformação normal à superfície ( \varepsilon_z) não é zero em geral; ela é relacionada às deformações no plano por contrato de Poisson. A fórmula linear de elasticidade (hipótese de pequena deformação, material isotrópico) dá:
\varepsilon_z = -\nu\left(\varepsilon_x+\varepsilon_y\right),
onde \nu é o coeficiente de Poisson. Aqui nos foi dado \nu=1/3.\n
Observação importante sobre grandezas:
  • \varepsilon_x e \varepsilon_y são as deformações normais na direção x e y, medidas em (por exemplo) microstrain ( \mu\varepsilon).
  • \gamma_{xy} é a deformação de cisalhamento de engenharia no plano xy — é a soma das mudanças de ângulo medidas (nem é o dobro de nada; use diretamente \gamma_{xy} nas fórmulas que vou mostrar).

Passo 3

Fórmulas para achar as deformações principais \varepsilon_1 e \varepsilon_2 (intensidades) e explicação do que representam.\n
As deformações principais no plano (autovalores do tensor de deformação plano) são as deformações normais em direções onde o cisalhamento é zero. Para o caso plano, elas são dadas por:
\varepsilon_{1,2} = \frac{\varepsilon_x+\varepsilon_y}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\varepsilon_x-\varepsilon_y}{2}\right)^2 + \left(\frac{\gamma_{xy}}{2}\right)^2 }.
Explicando cada termo:
  • \frac{\varepsilon_x+\varepsilon_y}{2} é a média das deformações normais — desloca o centro.
  • O radical mede a “distância” até as principais devido à diferença entre \varepsilon_x e \varepsilon_y e ao cisalhamento \gamma_{xy}.\n
    Maneira prática de usar: substitua os valores conhecidos de \varepsilon_x,\\ \varepsilon_y,\\ \gamma_{xy} (todos na mesma unidade, ex.: \mu\varepsilon) nessa fórmula e calcule \varepsilon_1 (o sinal +) e \varepsilon_2 (o sinal −). \n
    Observação: haverá três deformações principais no problema 3D: \varepsilon_1,\\ \varepsilon_2 (estas duas no plano) e \varepsilon_3=\varepsilon_z (fora do plano) — útil para a parte (c) abaixo.

Passo 4

Fórmula para a direção das deformações principais (ângulo \theta_p em relação ao eixo x).\n
O ângulo \theta_p (medido a partir do eixo x, no sentido de rotação positivo adotado no enunciado — normalmente sentido anti-horário) que orienta o eixo da primeira deformação principal satisfaz:
\tan(2\theta_p) \;=\; \frac{\gamma_{xy}}{\varepsilon_x - \varepsilon_y}.
Como isso funciona na prática:
  • Calcule o argumento da tangente \dfrac{\gamma_{xy}}{\varepsilon_x-\varepsilon_y}.
  • Use a função arco-tangente (atenção ao quadrante: é melhor usar a função \operatorname{atan2} que considera sinais do numerador e denominador para retornar o ângulo correto).
  • Depois divida por 2 para obter \theta_p. Esse \theta_p dá a direção da deformação principal associada a \varepsilon_1 (ou a \varepsilon_2), dependendo do ajuste de quadrante; você pode checar trocando + e no radical para ver qual é a maior.\n
    Dica prática para prova: calcule primeiro \tan(2\theta_p), avalie 2\theta_p com \operatorname{atan2}(\gamma_{xy},\varepsilon_x-\varepsilon_y) e divida por 2. Sempre verifique colocando \theta_p na fórmula de transformação para ver se o cisalhamento nesse ângulo zera (cheque rápido).

Passo 5

Cisalhamento máximo no plano das deformações (parte b) — fórmula e interpretação.\n
A máxima deformação de cisalhamento que ocorre em qualquer plano contido no plano xy (ou seja, máxima cisalhamento in-plane) tem magnitude:
\gamma_{\text{max,in-plane}} \;=\; 2\; \sqrt{\left(\frac{\varepsilon_x-\varepsilon_y}{2}\right)^2 + \left(\frac{\gamma_{xy}}{2}\right)^2 }.
Observação: algumas fontes definem o “cinhalhamento de engenharia máximo” como o valor da diferença entre deformações principais, outras como a metade; aqui estamos usando a convenção consistente com as fórmulas anteriores: note que
\varepsilon_1-\varepsilon_2 \;=\; 2\sqrt{\left(\frac{\varepsilon_x-\varepsilon_y}{2}\right)^2 + \left(\frac{\gamma_{xy}}{2}\right)^2 },
portanto a meia-diferença é
\frac{\varepsilon_1-\varepsilon_2}{2} \;=\; \sqrt{\left(\frac{\varepsilon_x-\varepsilon_y}{2}\right)^2 + \left(\frac{\gamma_{xy}}{2}\right)^2 }.
Se você quer a deformação de cisalhamento máxima no plano como valor de engenharia \gamma, use a fórmula com o fator 2 (primeira fórmula). Se a convenção da sua disciplina pede “meio-cisalhamento” (alguns livros usam \tau vs \gamma/2), checar qual é a convenção. No enunciado típico de materiais, pedem \gamma_{\max} (eng.), então use a primeira fórmula.

Passo 6

Cisalhamento máximo absoluto (3D) — parte (c).\n
Para obter a deformação de cisalhamento máxima absoluta possível (considerando as três direções principais), primeiro determine as três deformações principais:
\varepsilon_1,\\ \varepsilon_2 \\ \text{(do Passo 3)},\quad \varepsilon_3=\varepsilon_z=-\nu(\varepsilon_x+\varepsilon_y).
A máxima deformação de cisalhamento absoluta é então
\gamma_{\max,3D} \;=\; \max\big\{\,|\varepsilon_1-\varepsilon_2|,\;|\varepsilon_1-\varepsilon_3|,\;|\varepsilon_2-\varepsilon_3|\,\big\}.
Em termos de engenharia de deformação (diferença de normais), o maior valor de cisalhamento (como quantidade comparável às outras) costuma ser tomado como:
\gamma_{\max,3D} \;=\; \max_{i<j} \; |\varepsilon_i-\varepsilon_j|.
Se você quiser a “metade” (algumas convenções usam \gamma/2 como medida), então divida por 2. Verifique a convenção pedida no seu curso; muitos exercícios pedem a diferença absoluta máxima e depois dividem por 2 para obter o valor de cisalhamento “relativo” entre planos. Em enunciados de resistência/elasticidade, normalmente a resposta pedida para “deformação de cisalhamento máxima” é o valor de engenharia \gamma, isto é, \gamma_{\max,3D} = |\varepsilon_i-\varepsilon_j|_{\max}.

Passo 7

Resumo prático do procedimento passo-a-passo (para aplicar na prova, sem calculadora excessiva):\n
  1. Anote os três componentes experimentais: \varepsilon_x,\\ \varepsilon_y,\\ \gamma_{xy}.\n
  2. Calcule \varepsilon_z=-\nu(\varepsilon_x+\varepsilon_y) usando \nu=1/3.\n
  3. Calcule média m=\dfrac{\varepsilon_x+\varepsilon_y}{2} e o termo radical R=\sqrt{\left(\dfrac{\varepsilon_x-\varepsilon_y}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\gamma_{xy}}{2}\right)^2}.\n
  4. Ache \varepsilon_1=m+R e \varepsilon_2=m-R.\n
  5. Ache \theta_p=\dfrac{1}{2}\operatorname{atan2}\!\big(\gamma_{xy},\,\varepsilon_x-\varepsilon_y\big).\n
  6. Cisalhamento máximo no plano: \gamma_{\text{max,in-plane}}=2R.\n
  7. Cisalhamento máximo 3D: calcule as três diferenças |\varepsilon_1-\varepsilon_2|, |\varepsilon_1-\varepsilon_3|, |\varepsilon_2-\varepsilon_3| e tome a maior.\n
    Se você me confirmar os valores numéricos de \varepsilon_y e \gamma_{xy} (ou enviar a figura do problema), eu faço todo o cálculo numérico detalhado (com unidades \mu\varepsilon), mostro cada conta e dou as respostas pedidas (a direção e intensidade das deformações principais, a deformação de cisalhamento máxima in-plane e a deformação de cisalhamento máxima 3D).

Resposta

Não é possível fornecer os valores numéricos pedidos porque faltam no enunciado os componentes \varepsilon_y e \gamma_{xy} (ou a figura com esses valores). Se \varepsilon_x=+160\\ \mu\varepsilon for o único dado presente, ainda assim falta \varepsilon_y e \gamma_{xy}. Envie esses valores ou a figura e eu resolvo passo a passo com números.

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