O seguinte estado de deformação foi medido na superfície de uma placa fina. Sabendo que a superfície da placa está livre de tensão, determine (a) a direção e a intensidade das deformações principais, (b) a deformação de cisalhamento máxima no plano das deformações e (c) a deformação de cisalhamento máxima. (Use \nu=1 / 3.)
7.136
+570 \mu

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • (a) a direção e a intensidade das deformações principais \varepsilon_1 e \varepsilon_2 (e, por se tratar de placa fina, também existe \varepsilon_3 fora do plano);
  • (b) a deformação de cisalhamento máxima no plano das deformações (ou seja, máxima cisalhação no plano xy);
  • (c) a deformação de cisalhamento máxima (no estado tridimensional, considerando a espessura com \nu=1/3).
Informações dadas no enunciado (conforme recebi): apenas aparece algo como “7.136 +570 \mu”, que não é claro nem suficiente. Para resolver o problema são necessários explicitamente os valores medidos da deformação no sistema de coordenadas da placa:
\varepsilon_x,\qquad \varepsilon_y,\qquad \gamma_{xy}
onde \gamma_{xy} é a deformação de cisalhamento de engenharia no plano (unidade, por ex., \mu\varepsilon). Com esses três números eu posso calcular tudo pedido. Como os valores corretos e completos não foram fornecidos, não há como realizar os cálculos numéricos pedidos.

Passo 2

Vou explicar didaticamente o que eu faria e as fórmulas passo a passo — assim você aprende a resolver na prova quando tiver os valores completos.
  1. Entendimento físico e hipótese de placa fina:
  • “Superfície livre de tensão” para uma placa fina significa que na superfície a tensão normal do lado de fora é zero, isto é \sigma_z=0. Para uma condição de plano tensão (plane stress) isso implica que a deformação normal na direção z é
\varepsilon_z = -\nu(\varepsilon_x+\varepsilon_y),
onde \nu é o coeficiente de Poisson (aqui \nu=1/3). Essa fórmula vem da relação linear de Hooke para uma condição \sigma_z=0; ela nos dá a deformação fora do plano a partir das deformações no plano.
  1. Como obter as deformações principais (direção e intensidade):
  • A tensora (matriz) de deformação no plano, em componentes de engenharia, é representada por
\begin{pmatrix} \varepsilon_x & \tfrac{\gamma_{xy}}{2} \\\ \tfrac{\gamma_{xy}}{2} & \varepsilon_y \end{pmatrix}.
  • As deformações principais \varepsilon_{1} e \varepsilon_{2} são os autovalores dessa matriz 2×2. Há fórmula fechada:
\varepsilon_{1,2} = \frac{\varepsilon_x+\varepsilon_y}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\varepsilon_x-\varepsilon_y}{2}\right)^2 + \left(\frac{\gamma_{xy}}{2}\right)^2 }.
Expliquei cada termo:
  • \varepsilon_x e \varepsilon_y são as deformações normais medidas nas direções x e y;
  • \gamma_{xy} é a deformação de cisalhamento (engenharia) medida no plano;
  • a média \dfrac{\varepsilon_x+\varepsilon_y}{2} é o termo médio de alongamento; a raiz é a amplitude da assimetria que separa as duas principais.
  • A direção (ângulo \theta_p) do eixo principal em relação ao eixo x é dada por
\tan(2\theta_p)=\frac{\gamma_{xy}}{\varepsilon_x-\varepsilon_y}.
Para obter \theta_p calculamos 2\theta_p=\arctan(\cdot) e dividimos por 2, tomando cuidado com o quadrante (usar função atan2 em calculadora/linguagem para manter o sinal correto).
  1. Deformação de cisalhamento máxima no plano das deformações:
  • A expressão da deformação de cisalhamento \gamma_{x'y'} em um eixo girado é
\gamma_{x'y'} = -(\varepsilon_x-\varepsilon_y)\sin2\theta + \gamma_{xy}\cos2\theta.
  • A amplitude máxima (valor máximo possível de |\gamma_{x'y'}| ao variar \theta) é
\gamma_{\text{max, plano}} = \sqrt{(\varepsilon_x-\varepsilon_y)^2 + \gamma_{xy}^2 }.
  • Observação: essa quantidade é numericamente igual à diferença entre as deformações principais:
\gamma_{\text{max, plano}} = \varepsilon_{\text{max normal}} - \varepsilon_{\text{min normal}} = \varepsilon_1 - \varepsilon_2.
(Isto ocorre porque a transformação de deformações liga diretamente as diferenças de normais com as cisalhações.)
  1. Deformação de cisalhamento máxima (3D):
  • Depois de calcular \varepsilon_1 e \varepsilon_2 no plano e \varepsilon_z pela relação de Poisson, teremos as três deformações principais tridimensionais — que são os autovalores do tensor de deformação 3×3; no caso de ausência de cisalhamento com direção z, esses autovalores são \varepsilon_1,\\ \varepsilon_2,\\ \varepsilon_3 (sendo \varepsilon_3=\varepsilon_z ou, se necessário, reordenando para ficar \varepsilon_{\max} e \varepsilon_{\min}).
  • A deformação de cisalhamento máxima no estado tridimensional (engenharia) é a maior diferença entre quaisquer dois autovalores (i.e., entre maior e menor deformação principal):
\gamma_{\text{max, 3D}} = \varepsilon_{\max} - \varepsilon_{\min}.
  • Na prática: calcule \varepsilon_1,\varepsilon_2 pelo passo 2, calcule \varepsilon_z pela fórmula com \nu, determine qual é o maior e qual é o menor entre os três; a diferença é a deformação de cisalhamento máxima (engenharia).

Passo 3

Resumo do algoritmo passo a passo para aplicar na prova (sem calculadora complicada; apenas plug-in de valores e raiz quadrada simples):
  1. Ler os valores medidos \varepsilon_x,\\ \varepsilon_y,\\ \gamma_{xy} (em \mu\varepsilon ou unidades dadas).
  2. Calcular \varepsilon_z = -\nu(\varepsilon_x+\varepsilon_y) com \nu=1/3.
  3. Calcular
\varepsilon_{avg}=\frac{\varepsilon_x+\varepsilon_y}{2},\qquad R=\sqrt{\left(\frac{\varepsilon_x-\varepsilon_y}{2}\right)^2+\left(\frac{\gamma_{xy}}{2}\right)^2}.
  1. Obter as deformações principais in-plane:
\varepsilon_1=\varepsilon_{avg}+R,\qquad \varepsilon_2=\varepsilon_{avg}-R.
  1. Determinar o ângulo principal:
2\theta_p=\arctan\!\left(\frac{\gamma_{xy}}{\varepsilon_x-\varepsilon_y}\right),\qquad \theta_p=\frac{1}{2}2\theta_p.
(Atenção ao sinal e quadrante.)
6. Deformação de cisalhamento máxima no plano:
\gamma_{\text{max, plano}}=\varepsilon_1-\varepsilon_2=2R=\sqrt{(\varepsilon_x-\varepsilon_y)^2+\gamma_{xy}^2}.
  1. Deformação de cisalhamento máxima (3D):
  • Liste \varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_z, ordene para achar \varepsilon_{\max} e \varepsilon_{\min}, e calcule
\gamma_{\text{max, 3D}}=\varepsilon_{\max}-\varepsilon_{\min}.

Resposta

Não é possível fornecer valores numéricos porque o enunciado, tal como recebido, não contém os valores completos das deformações medidas \varepsilon_x,\\ \varepsilon_y,\\ \gamma_{xy}. Envie esses três números (unidades) que eu aplico imediatamente o procedimento acima e calculo (a) direções e intensidades das deformações principais, (b) \gamma_{\text{max, plano}} e (c) \gamma_{\text{max, 3D}}.

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