O seguinte estado de deformação foi medido na superfície de uma placa fina. Sabendo que a superfície da placa está livre de tensão, determine (a) a direção e a intensidade das deformações principais, (b) a deformação de cisalhamento máxima no plano das deformações e (c) a deformação de cisalhamento máxima. (Use
.)
7.136
+570 \mu
7.136
+570 \mu
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- (a) a direção e a intensidade das deformações principais
e (e, por se tratar de placa fina, também existe fora do plano); - (b) a deformação de cisalhamento máxima no plano das deformações (ou seja, máxima cisalhação no plano
); - (c) a deformação de cisalhamento máxima (no estado tridimensional, considerando a espessura com
).
Informações dadas no enunciado (conforme recebi): apenas aparece algo como “7.136 +570 \mu”, que não é claro nem suficiente. Para resolver o problema são necessários explicitamente os valores medidos da deformação no sistema de coordenadas da placa:
onde
é a deformação de cisalhamento de engenharia no plano (unidade, por ex.,
). Com esses três números eu posso calcular tudo pedido. Como os valores corretos e completos não foram fornecidos, não há como realizar os cálculos numéricos pedidos.
Passo 2
Vou explicar didaticamente o que eu faria e as fórmulas passo a passo — assim você aprende a resolver na prova quando tiver os valores completos.
- Entendimento físico e hipótese de placa fina:
- “Superfície livre de tensão” para uma placa fina significa que na superfície a tensão normal do lado de fora é zero, isto é
. Para uma condição de plano tensão (plane stress) isso implica que a deformação normal na direção é
onde
é o coeficiente de Poisson (aqui
). Essa fórmula vem da relação linear de Hooke para uma condição
; ela nos dá a deformação fora do plano a partir das deformações no plano.
- Como obter as deformações principais (direção e intensidade):
- A tensora (matriz) de deformação no plano, em componentes de engenharia, é representada por
- As deformações principais
e são os autovalores dessa matriz 2×2. Há fórmula fechada:
Expliquei cada termo:
-
e são as deformações normais medidas nas direções e ; -
é a deformação de cisalhamento (engenharia) medida no plano; - a média
é o termo médio de alongamento; a raiz é a amplitude da assimetria que separa as duas principais. - A direção (ângulo
) do eixo principal em relação ao eixo é dada por
Para obter
calculamos
e dividimos por 2, tomando cuidado com o quadrante (usar função atan2 em calculadora/linguagem para manter o sinal correto).
- Deformação de cisalhamento máxima no plano das deformações:
- A expressão da deformação de cisalhamento
em um eixo girado é
- A amplitude máxima (valor máximo possível de
ao variar ) é
- Observação: essa quantidade é numericamente igual à diferença entre as deformações principais:
(Isto ocorre porque a transformação de deformações liga diretamente as diferenças de normais com as cisalhações.)
- Deformação de cisalhamento máxima (3D):
- Depois de calcular
e no plano e pela relação de Poisson, teremos as três deformações principais tridimensionais — que são os autovalores do tensor de deformação 3×3; no caso de ausência de cisalhamento com direção , esses autovalores são (sendo ou, se necessário, reordenando para ficar e ). - A deformação de cisalhamento máxima no estado tridimensional (engenharia) é a maior diferença entre quaisquer dois autovalores (i.e., entre maior e menor deformação principal):
- Na prática: calcule
pelo passo 2, calcule pela fórmula com , determine qual é o maior e qual é o menor entre os três; a diferença é a deformação de cisalhamento máxima (engenharia).
Passo 3
Resumo do algoritmo passo a passo para aplicar na prova (sem calculadora complicada; apenas plug-in de valores e raiz quadrada simples):
- Ler os valores medidos
(em ou unidades dadas). - Calcular
com . - Calcular
- Obter as deformações principais in-plane:
- Determinar o ângulo principal:
(Atenção ao sinal e quadrante.)
6. Deformação de cisalhamento máxima no plano:
6. Deformação de cisalhamento máxima no plano:
- Deformação de cisalhamento máxima (3D):
- Liste
, ordene para achar e , e calcule
Resposta
Não é possível fornecer valores numéricos porque o enunciado, tal como recebido, não contém os valores completos das deformações medidas
. Envie esses três números (unidades) que eu aplico imediatamente o procedimento acima e calculo (a) direções e intensidades das deformações principais, (b)
e (c)
.