Para a seguinte função de transferência de processo dada,
Gp(s)=(-s+1)(s+1)(s+2)
e o polinômio característico do sistema em malha fechada 1+Gc Gp=0, se quisermos usar um controlador proporcional simples, responda às seguintes perguntas:
Qual é a faixa de Kc que fornece respostas estáveis em malha fechada?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um processo com função de transferência
Gp(s)=-s+1(s+1)(s+2)
e um controlador proporcional 1 + GcGp = 0Longrightarrow 1 + Kc,Gp(s)=0. O polinômio característico em malha fechada é
O conteúdo aqui é teoria de estabilidade (critério de Routh–Hurwitz) e algebra de polinômios. Vamos precisar montar o polinômio característico da malha fechada em função de e ver pra quais valores de todos os coeficientes ficam positivos, garantindo que as raízes tenham parte real negativa.

Passo 2

Primeiro a gente monta o polinômio característico:
1 + (s+1)(s+2) + Kc(-s+1) = 0
Multiplicando ambos os lados por s^2 + 3s + 2 ;+; Kc(-s) + Kc(1) ;=; 0 Longrightarrow s^2 + (3 - Kc),s + (2 + Kc);=;0 :
Agora expandimos:

Passo 3

Para um polinômio de 2º grau
s^2 + a1 s + a0 = 0
as condições de estabilidade (Routh simplificado) são
  1. a1 = 3 - Kc, a0 = 2 + Kc
  2. 3 - Kc > 0 Longrightarrow Kc < 3, .
    No nosso caso:
2 + Kc > 0 Longrightarrow Kc > -2
Então exigimos
-2 < Kc < 3
Ou seja, as duas condições juntas dão

Resposta

A faixa de boxed-2 < Kc < 3 que garante estabilidade em malha fechada é

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