Determine se as seguintes funções de transferências têm polos dominantes:
\begin{aligned} G(s) & =\frac{100}{(s+15)\left(s^{2}+4 s+100\right)} \\\ T(s) & =\frac{180}{(s+4)\left(s^{2}+2 s+90\right)} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá duas funções de transferência e pede para verificar se elas têm polos dominantes. O conteúdo aqui é a aproximação de ordem reduzida: dizemos que um par de polos (por exemplo, um par complexo) é dominante se os demais polos estiverem em valores de parte real muito mais negativa (tipicamente pelo menos 5 vezes mais negativos), podendo então ser desprezados na dinâmica lenta.

Passo 2

Para G(s) obtemos os polos:
s+15=0\;\Rightarrow\;s=-15,
s^{2}+4s+100=0\;\Rightarrow\;s=-2\pm j\sqrt{100-4}= -2\pm j\,9{,}798.

Passo 3

Comparamos a rapidez de decaimento (valor absoluto da parte real):
\frac{|{-15}|}{|{-2}|} = \frac{15}{2}=7{,}5>5.
Como o polo real em -15 é pelo menos 5 vezes mais rápido (mais à esquerda) que o par -2\pm j9{,}798, este par complexo é dominante em G(s).

Passo 4

Para T(s) obtemos os polos:
s+4=0\;\Rightarrow\;s=-4,
s^{2}+2s+90=0\;\Rightarrow\;s=-1\pm j\sqrt{90-1}= -1\pm j\,9{,}433.

Passo 5

Comparamos agora:
\frac{|{-4}|}{|{-1}|} = 4 <5.
Como o polo real em -4 não é pelo menos 5 vezes mais rápido que o par -1\pm j9{,}433, não podemos desprezá-lo. Logo, T(s) não possui polos suficientemente isolados para haver um par dominante claro.

Resposta

G(s) tem polos dominantes (os complexos em -2\pm j9{,}798). T(s) não possui polos dominantes pelo critério de razão 5:1.

Exercícios relacionados