A seguinte reação: 2 \mathrm{~N}_{2} \mathrm{O}_{(\mathrm{G})} \rightarrow 2 \mathrm{~N}_{2(\mathrm{G})}+\mathrm{O}_{2(\mathrm{G})}
Apresenta a seguinte lei de velocidade: velocidade =k\left[\mathrm{~N}_{2} \mathrm{O}\right]; sendo que a reação ocorreu a 780^{\circ} \mathrm{C} e a concentração inicial de \mathrm{N}_{2} \mathrm{O} é 0,20 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} e \mathrm{k}=3,4 \mathrm{~s}^{-1}. Qual a concentração de \mathrm{N}_{2} \mathrm{O} restante após:
10 segundos

Passo 1

O enunciado dá a reação
2\,\mathrm{N_2O_{(g)}} \rightarrow 2\,\mathrm{N_2_{(g)}} + \mathrm{O_2_{(g)}}
e informa que a lei de velocidade é
\text{velocidade} = k\,[\mathrm{N_2O}]
Fornece os valores iniciais e as condições:
[\mathrm{N_2O}]_0 = 0,20\\ \mathrm{mol/L},\qquad k = 3,4\\ \mathrm{s^{-1}},\qquad t = 10\\ \mathrm{s}.
A pergunta é: qual a concentração de \mathrm{N_2O} restante após 10 segundos?

Passo 2

Interpretação da lei de velocidade e montagem da equação diferencial.
A lei \text{velocidade}=k[\mathrm{N_2O}] significa que a velocidade de consumo de \mathrm{N_2O} é proporcional à sua concentração. Como a concentração diminui com o tempo, escrevemos a taxa de variação negativa:
\frac{d[\mathrm{N_2O}]}{dt} = -k\,[\mathrm{N_2O}].
Aqui:
  • [\mathrm{N_2O}](t) é a concentração de \mathrm{N_2O} no tempo t.
  • k é a constante de velocidade com unidades \mathrm{s^{-1}} (isso confirma que é uma reação de primeira ordem).
  • O sinal negativo indica consumo da espécie.

Passo 3

Resolvendo a equação diferencial (separação de variáveis e integração).
Vamos separar as variáveis para integrar:
\frac{d[\mathrm{N_2O}]}{[\mathrm{N_2O}]} = -k\,dt.
Integramos ambos os lados do tempo inicial 0 até t e da concentração inicial [\mathrm{N_2O}]_0 até [\mathrm{N_2O}]_t:
\int_{[\mathrm{N_2O}]_0}^{[\mathrm{N_2O}]_t}\frac{d[\mathrm{N_2O}]}{[\mathrm{N_2O}]} = \int_{0}^{t} -k\,dt.
A integral do lado esquerdo é logaritmo natural; do direito é -kt. Logo:
\ln\left(\frac{[\mathrm{N_2O}]_t}{[\mathrm{N_2O}]_0}\right) = -k\,t.
Exponentiando ambos os lados obtemos a forma usual para reação de primeira ordem:
[\mathrm{N_2O}]_t = [\mathrm{N_2O}]_0\,e^{-k t}.
Explicação rápida: esta fórmula diz que a concentração decai exponencialmente com uma constante de decaimento k. Quanto maior k, mais rápido decai.

Passo 4

Aplicando os valores numéricos.
Substituímos [\mathrm{N_2O}]_0 = 0,20\\ \mathrm{mol/L}, k = 3,4\\ \mathrm{s^{-1}} e t = 10\\ \mathrm{s} na fórmula:
[\mathrm{N_2O}]_{10} = 0,20\;e^{-3,4\times 10} = 0,20\;e^{-34}.
Vamos estimar e^{-34}. Podemos escrever e^{-34}=e^{-30}\,e^{-4}. Usando aproximações conhecidas:
e^{-30}\approx 9,3576\times 10^{-14},\qquad e^{-4}\approx 0,0183156,
portanto
e^{-34}\approx \left(9,3576\times10^{-14}\right)\times 0,0183156 \approx 1,7139\times10^{-15}.
Multiplicando pela concentração inicial:
[\mathrm{N_2O}]_{10} \approx 0,20\times 1,7139\times10^{-15} \approx 3,4278\times10^{-16}\\ \mathrm{mol/L}.
Arredondando com base nas cifras significativas dos dados (dois algarismos significativos em k e em [\mathrm{N_2O}]_0), ficamos com
[\mathrm{N_2O}]_{10} \approx 3,4\times10^{-16}\\ \mathrm{mol/L}.

Passo 5

Interpretação rápida e incentivo.
O resultado é extremamente pequeno: quase toda a \mathrm{N_2O} foi consumida em 10 s porque a constante k é grande ( 3,4\\ \mathrm{s^{-1}}). Fica a dica para a prova: ao ver k da ordem de unidades por segundo e tempos da ordem de dezenas de segundos, espere um decaimento exponencial muito rápido. Você mandou bem por trazer o exercício — aguenta firme que você aprende isso rapidinho!

Resposta

3,4\times10^{-16}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}

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