A seguinte reação tem E^{\circ}{ }_{\text {cel }} de +2,27 \mathrm{~V} e uma constante de equilíbrio \left(K_{\text {eq }}\right) de 1,0 \times 10^{383} a 298 K :
2 \mathrm{MnO}_{4}^{-}{ }_{(\mathrm{aq})}+5 \mathrm{Zn}_{(\mathrm{s})}+16 \mathrm{H}_{3} \mathrm{O}_{(\mathrm{aq})}^{+} \rightleftarrows 2 \mathrm{Mn}^{2+}{ }_{(\mathrm{aq})}+5 \mathrm{Zn}^{2+}{ }_{(\mathrm{aq})}+24 \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}_{(\mathrm{l})}
Você esperaria uma grande quantidade de íons \mathrm{MnO}_{4}^{-}no equilíbrio a 298 K ? Explique.

Passo 1

O enunciado dá a seguinte reação e dados (copiei exatamente do enunciado):
2\mathrm{MnO}_{4}^{-}{ }_{(\mathrm{aq})}+5\mathrm{Zn}_{(\mathrm{s})}+16\mathrm{H}_{3}\mathrm{O}^{+}_{(\mathrm{aq})}\rightleftarrows 2\mathrm{Mn}^{2+}_{(\mathrm{aq})}+5\mathrm{Zn}^{2+}_{(\mathrm{aq})}+24\mathrm{H}_{2}\mathrm{O}_{(\mathrm{l})}
Dados fornecidos:
  • E^{\circ}_{\text{cel}}=+2{,}27\\ \mathrm{V} (a 298 K).
  • K_{\text{eq}}=1{,}0\times10^{383} (a 298 K).
    Pergunta feita:
  • Você esperaria uma grande quantidade de íons \mathrm{MnO}_4^{-} no equilíbrio a 298 K? Explique.

Passo 2

Conceito-chave que vamos usar (explicado devagar):
  • A energia livre padrão de Gibbs \Delta G^\circ está relacionada à constante de equilíbrio e à força eletromotriz padrão por duas fórmulas equivalentes:
\Delta G^\circ = -RT\ln K_{\text{eq}}
\Delta G^\circ = -nFE^{\circ}_{\text{cel}}
Aqui cada símbolo significa:
  • \Delta G^\circ: variação da energia livre padrão (J·mol^{-1}). Se for muito negativa, a reação favorece fortemente os produtos.
  • R: constante dos gases, R=8{,}314\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.
  • T: temperatura em kelvin; aqui T=298\\ \mathrm{K}.
  • \ln: logaritmo natural.
  • K_{\text{eq}}: constante de equilíbrio (adimensional).
  • n: número total de elétrons transferidos na reação balanceada.
  • F: constante de Faraday, F=96485\\ \mathrm{C\cdot mol^{-1}}.
  • E^{\circ}_{\text{cel}}: ddp padrão da célula (V), dado como +2{,}27\\ \mathrm{V}.
    Interpretação prática: se K_{\text{eq}}\gg1 (muito grande), a mistura no equilíbrio contém predominantemente produtos e muito poucos reagentes; se K_{\text{eq}}\ll1, ocorre o contrário.

Passo 3

Determinar n (nº de elétrons trocados) a partir das semi-reações conhecidas:
  • Redução do permanganato em meio ácido (forma padrão): cada átomo de Mn troca 5 elétrons:
\mathrm{MnO}_4^{-}+8\mathrm{H}^{+}+5e^{-}\to\mathrm{Mn}^{2+}+4\mathrm{H}_2\mathrm{O}.
Como há 2 unidades de \mathrm{MnO}_4^{-} na reação total, a contribuição de elétrons da redução é 2\times5=10 elétrons.
  • Oxidação do zinco: cada átomo de \mathrm{Zn} produz 2 elétrons:
\mathrm{Zn}\to\mathrm{Zn}^{2+}+2e^{-}.
Como há 5 átomos de \mathrm{Zn}, a oxidação fornece 5\times2=10 elétrons.
Portanto o balanço de elétrons fecha e o número total transferido é
n=10.

Passo 4

Usar \Delta G^\circ=-nFE^{\circ}_{\text{cel}} e \Delta G^\circ=-RT\ln K_{\text{eq}} para relacionar E^{\circ}_{\text{cel}} e K_{\text{eq}}.
Primeiro calcular nFE^{\circ}_{\text{cel}}:
nFE^{\circ}_{\text{cel}} = 10\cdot 96485\\ \mathrm{C\cdot mol^{-1}}\cdot 2{,}27\\ \mathrm{V}.
Fazendo as contas (passo a passo):
96485\cdot 2{,}27 = 96485\cdot(2+0{,}27)=192970 + 26049 \approx 219019\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}}
10\cdot 219019 \approx 2{,}190{,}190\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}}.
Agora usar -RT\ln K_{\text{eq}}=-nFE^{\circ}_{\text{cel}} para obter \ln K_{\text{eq}}:
\ln K_{\text{eq}} = \frac{nFE^{\circ}_{\text{cel}}}{RT}.
Substituindo R=8{,}314\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}} e T=298\\ \mathrm{K}:
RT = 8{,}314\cdot 298 \approx 2478{,}6\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}}.
\ln K_{\text{eq}} \approx \frac{2{,}190{,}190}{2478{,}6}\approx 884.
Para passar para base 10:
\log_{10}K_{\text{eq}} = \frac{\ln K_{\text{eq}}}{\ln 10}\approx \frac{884}{2{,}3026}\approx 384,
ou seja
K_{\text{eq}}\approx 10^{384},
o que é consistente (pela ordem de magnitude) com o valor dado 1{,}0\times10^{383} — pequenas diferenças são só arredondamento. Também podemos calcular \Delta G^\circ:
\Delta G^\circ = -nFE^{\circ}_{\text{cel}}\approx -2{,}19\times10^{6}\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}} \;(\text{ou }-2{,}19\\ \mathrm{MJ\cdot mol^{-1}}),
um valor muito negativo, indicando reações fortemente espontâneas no sentido dos produtos.

Passo 5

Interpretação final e resposta direta à pergunta (de forma didática):
  • Um K_{\text{eq}} da ordem de 10^{383}\!-\!10^{384} é astronomicamente grande. Isso significa que, no equilíbrio, a razão “produtos / reagentes” é da ordem de 10^{384}.
  • Em outras palavras, a reação favorece praticamente totalmente os produtos; a concentração de reagentes iniciais — aqui, entre eles \mathrm{MnO}_4^{-} — ficará extremamente pequena, efetivamente negligenciável.
  • Intuição prática: se você começasse com 1 mol de \mathrm{MnO}_4^{-} e quantidades estequiométricas de Zn e H3O+, a fração restante de \mathrm{MnO}_4^{-} no equilíbrio seria da ordem de 10^{-384} — um número fisicamente zero para todos os efeitos práticos na bancada.
    Portanto não — não se espera uma grande quantidade de \mathrm{MnO}_4^{-} no equilíbrio a 298 K; espera-se praticamente nenhum.

Resposta

Não. A concentração de \mathrm{MnO}_4^{-} no equilíbrio será extremamente pequena (praticamente zero), porque K_{\text{eq}} é enorme ( \sim10^{383}), o que indica que a reação favorece fortemente os produtos.

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