Qual das seguintes afirmações é verdadeira?
a. Mesmo se conhecermos os valores do índice de preços ao consumidor para os anos de 2009 e 2010, não podemos calcular a taxa de inflação para 2010 se não soubermos qual ano é o ano base.
b. Se sabemos que o ano base é 1990, e se sabemos o valor do índice de preços ao consumidor para o ano de 2010, então temos todas as informações que precisamos para calcular a taxa de inflação para 2010.
c. Se sabemos que o ano base é 2000, e se sabemos o valor do índice de preços ao consumidor para o ano de 1995, então temos todas as informações de que precisamos para calcular a taxa de inflação para 1995.
d. Se sabemos que o ano base é 2000, e se sabemos o valor do índice de preços ao consumidor para o ano de 1995, então temos todas as informações que precisamos para calcular a variação percentual no custo de vida entre 1995 e 2000.

Passo 1

O enunciado pede que identifiquemos qual das quatro afirmações é verdadeira. As afirmações são:
a. Mesmo se conhecermos os valores do índice de preços ao consumidor para os anos de 2009 e 2010, não podemos calcular a taxa de inflação para 2010 se não soubermos qual ano é o ano base.
b. Se sabemos que o ano base é 1990, e se sabemos o valor do índice de preços ao consumidor para o ano de 2010, então temos todas as informações que precisamos para calcular a taxa de inflação para 2010.
c. Se sabemos que o ano base é 2000, e se sabemos o valor do índice de preços ao consumidor para o ano de 1995, então temos todas as informações de que precisamos para calcular a taxa de inflação para 1995.
d. Se sabemos que o ano base é 2000, e se sabemos o valor do índice de preços ao consumidor para o ano de 1995, então temos todas as informações que precisamos para calcular a variação percentual no custo de vida entre 1995 e 2000.
Informações relevantes dadas pelo enunciado: os valores do índice de preços citados nas alternativas e, em duas alternativas, qual é o ano base. A pergunta é: qual das quatro afirmativas é verdadeira? (Não vou resolver nada neste passo.)

Passo 2

O que é o índice de preços ao consumidor (IPC) e o que significa “ano base”. Explicando devagar e com jeitinho:
  • O IPC é uma medida do nível de preços numa economia construída a partir de uma cesta de bens e serviços. Ele é um número que representa “quanto custa” a cesta em relação ao custo da mesma cesta no ano base.
  • O ano base é o ano em que o índice é normalizado a um valor conveniente (muito frequentemente 100). Ou seja, se o ano base é t_0, normalmente define-se \text{IPC}_{t_0}=100. Isso é apenas uma convenção de escala: mudar o ano base multiplica todos os valores do IPC por uma constante.
  • Importante: porcentagens de variação entre dois anos dependem apenas da razão entre os dois IPCs, e não da escala absoluta escolhida. Isso é chave — vou provar isso no próximo passo.

Passo 3

Fórmula da variação percentual (explicando tudo):
  • A variação percentual no nível de preços entre um ano a e um ano b é dada por
\text{variação\%}_{a\to b} = \left(\frac{\text{IPC}_b}{\text{IPC}_a}-1\right)\times 100\%.çã
  • Aqui \text{IPC}_a é o valor do índice no ano a e \text{IPC}_b é o valor no ano b. Essa fórmula vem direto da definição de variação percentual: "novo dividido por antigo, menos 1".
Exemplo muito simples: se \text{IPC}_{2009}=120 e \text{IPC}_{2010}=126, então a inflação de 2009 para 2010 é
\left(\frac{126}{120}-1\right)\times 100\% = \left(1,05-1\right)\times 100\% = 5\%.

Passo 4

Prova de que a escolha do ano base não afeta a variação percentual entre dois anos:
  • Suponha que temos um IPC calculado com um ano base qualquer, e que alguém muda o ano base. Essa mudança de base multiplica todos os valores do IPC por uma constante k>0. Ou seja, os novos valores são \text{IPC}'_t = k\cdot \text{IPC}_t para todo t.
  • Calcule a variação percentual usando os valores com o novo base:
\left(\frac{\text{IPC}'_b}{\text{IPC}'_a}-1\right)\times 100\% = \left(\frac{k\cdot \text{IPC}_b}{k\cdot \text{IPC}_a}-1\right)\times 100\% = \left(\frac{\text{IPC}_b}{\text{IPC}_a}-1\right)\times 100\%.
  • O k cancela! Logo a variação percentual entre dois anos é independente do ano base escolhido.
Conclusão técnica: conhecer apenas os valores relativos do IPC em dois anos permite calcular a variação percentual entre esses dois anos sem precisar saber qual era o ano base.

Passo 5

Analisando a alternativa (a) à luz do que provamos:
  • A alternativa (a) diz que, mesmo conhecendo \text{IPC}_{2009} e \text{IPC}_{2010}, não podemos calcular a taxa de inflação de 2010 se não soubermos o ano base.
  • Pelo passo anterior, a inflação de 2009 para 2010 é
\left(\frac{\text{IPC}_{2010}}{\text{IPC}_{2009}}-1\right)\times 100\{},
e isso não depende do ano base (o fator de escala cancela). Portanto é falso que não podemos calcular a inflação: podemos sim, desde que tenhamos os dois IPCs.
  • Conclusão: (a) é falsa.

Passo 6

Analisando a alternativa (b):
  • A alternativa (b) afirma que, sabendo que o ano base é 1990 e sabendo \text{IPC}_{2010}, já temos tudo o que precisamos para calcular a taxa de inflação de 2010.
  • Mas para calcular a taxa de inflação de 2010 normalmente queremos a variação entre 2009 e 2010 (inflação anual de 2010), ou entre 2010 e 2010-1. Em qualquer caso, precisamos de \text{IPC}_{2010} e de \text{IPC}_{2009}.
  • Conhecer apenas o ano base e \text{IPC}_{2010} não nos dá \text{IPC}_{2009}. O fato de o ano base ser 1990 só nos diz o valor de \text{IPC}_{1990} (normalmente 100), mas isso não permite derivar \text{IPC}_{2009} sem informação adicional.
  • Portanto (b) é falsa.
Observação: se por "taxa de inflação para 2010" alguém quisesse dizer a variação entre 1990 e 2010 (o enunciado não diz), aí bastaria \text{IPC}_{2010} e o fato de \text{IPC}_{1990}=100. Mas a interpretação padrão é inflação anual de 2010 (ou seja, comparação com o ano anterior), então (b) está incorreta.

Passo 7

Analisando a alternativa (c):
  • A alternativa (c) diz que sabendo que o ano base é 2000 e sabendo \text{IPC}_{1995} temos tudo para calcular a taxa de inflação para 1995.
  • Pela mesma razão do passo anterior: a inflação de 1995 (ou a variação de 1994 para 1995) exige \text{IPC}_{1995} e \text{IPC}_{1994}. Saber apenas \text{IPC}_{1995} e que \text{IPC}_{2000}=100 não fornece \text{IPC}_{1994}.
  • Portanto (c) é falsa.

Passo 8

Analisando a alternativa (d):
  • A alternativa (d) afirma que, se o ano base é 2000 (logo \text{IPC}_{2000}=100) e sabemos \text{IPC}_{1995}, então temos tudo para calcular a variação percentual no custo de vida entre 1995 e 2000.
  • A variação percentual entre 1995 e 2000 é
\left(\frac{\text{IPC}_{2000}}{\text{IPC}_{1995}}-1\right)\times 100\%.
  • Como o enunciado diz que o ano base é 2000, sabemos que \text{IPC}_{2000}=100 (convenção usual). Logo basta o valor de \text{IPC}_{1995} para calcular a variação:
\left(\frac{100}{\text{IPC}_{1995}}-1\right)\times 100\%.
  • Exemplo numérico: se \text{IPC}_{1995}=80, então a variação 1995\to2000 é \left(100/80-1\right)\times 100\% = (1,25-1)\times 100\% = 25\%.
  • Conclusão: (d) é verdadeira.

Passo 9

Resumo final do raciocínio: (a) falso porque variação entre dois anos depende só da razão dos IPCs e não do ano base; (b) falso porque falta o IPC do ano anterior para calcular inflação anual; (c) falso pelo mesmo motivo; (d) verdadeiro porque com ano base 2000 sabemos \text{IPC}_{2000}=100 e, junto com \text{IPC}_{1995}, conseguimos a variação entre 1995 e 2000.

Resposta

d.

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