Em 1949, Sycamore, Illinois construiu um hospital por cerca de US \ 500.000 . Em 1987, o condado restaurou o tribunal por cerca de US$2,4$ milhões. Um índice de preços para construções não residenciais foi de 14 em 1949, 92 em 1987 e 114,5 em 2000. De acordo com esses números, o custo do hospital foi
a. US \ 3,6$ milhões em dólares do ano 2000, o que é menor do que o custo da restauração do tribunal em dólares do ano 2000.
b. US \ 3,6$ milhões em dólares do ano 2000, o que é mais do que o custo da restauração do tribunal em dólares do ano 2000.
c. \ 4,1$ milhões em dólares do ano 2000, o que é menor do que o custo da restauração do tribunal em dólares do ano 2000.
d. \ 4,1$ milhões em dólares do ano 2000, o que é mais do que o custo da restauração do tribunal em dólares do ano 2000.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede que calculemos o custo do hospital em dólares do ano 2000 e comparamos esse valor com o custo da restauração do tribunal em dólares do ano 2000. Dados fornecidos:
  • Custo do hospital em 1949: \$\,500{,}000.
  • Custo da restauração do tribunal em 1987: \$\,2{,}400{,}000.
  • Índices de preços para construções não residenciais:
    • índice em 1949: \;14\;
    • índice em 1987: \;92\;
    • índice em 2000: \;114{,}5\;

      Perguntas a responder (implícitas no enunciado):
  1. Qual o custo do hospital expresso em dólares do ano 2000?
  2. Esse custo é menor ou maior que o custo da restauração do tribunal expresso em dólares do ano 2000?

Passo 2

Como converter valores de um ano para outro usando índices de preços (a ideia e a fórmula).
Quando temos um índice de preços que mede o nível geral (por exemplo, para construção) em diferentes anos, supomos que preços se movem na mesma proporção que o índice. Assim, para transformar um custo do ano A para o ano B usamos a regra de três simples:
\text{custo no ano }B = \text{custo no ano }A \times \frac{\text{índice no ano }B}{\text{índice no ano }A}.íí
Aqui: a variável \text{custo no ano }A é o valor original (por ex. \$\,500{,}000), \text{índice no ano }Aí é o índice do ano original (por ex. \;14\;), e \text{índice no ano }Bí é o índice do ano para o qual queremos converter (aqui \;114{,}5\;). Essa fórmula vem do fato que o índice é proporcional ao nível de preços: se o índice dobra, o custo em termos reais também dobra.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao hospital (converter de 1949 para 2000). Substituímos:
\text{custo\_hospital\_2000} = \$\,500{,}000 \times \frac{114{,}5}{14}.
Para facilitar as contas, observe que 114{,}5 = \dfrac{229}{2}. Então
\frac{114{,}5}{14} = \frac{229/2}{14} = \frac{229}{28}.
Logo,
\text{custo\_hospital\_2000} = \$\,500{,}000 \times \frac{229}{28}.
Calculemos passo a passo: \dfrac{229}{28}\approx 8{,}1785714286. Multiplicando:
\$\,500{,}000 \times 8{,}1785714286 \approx \$\,4{,}089{,}285{,}714.
Arredondando para um digito decimal em milhões (forma usada nas alternativas): \$\,4{,}089{,}286 \$\,4{,}1 milhões.

Passo 4

Aplicando a fórmula à restauração do tribunal (converter de 1987 para 2000). Substituímos:
\text{custo\_tribunal\_2000} = \$\,2{,}400{,}000 \times \frac{114{,}5}{92}.
Novamente usando 114{,}5 = \dfrac{229}{2}, temos
\frac{114{,}5}{92} = \frac{229/2}{92} = \frac{229}{184} \approx 1{,}2445652174.
Multiplicando:
\$\,2{,}400{,}000 \times 1{,}2445652174 \approx \$\,2{,}986{,}956{,}522.
Arredondando para milhões: \$\,2{,}986{,}957 \$\,3{,}0 milhões.

Passo 5

Comparação dos resultados obtidos:
  • Hospital em dólares de 2000: aproximadamente \$\,4{,}09 milhões (isto é, \$\,4{,}1 milhões arredondando como nas alternativas).
  • Restauração do tribunal em dólares de 2000: aproximadamente \$\,2{,}99 milhões (isto é, \$\,3{,}0 milhões arredondando).

    Portanto, o custo do hospital em dólares de 2000 é cerca de \$\,4{,}1 milhões, e esse valor é maior do que o custo da restauração do tribunal em dólares de 2000.

Resposta

(d)

Exercícios relacionados