As seguintes cinco matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, o que você pode dizer sobre o número de soluções no sistema correspondente: (i) quando o lado direito é b_{1}=\ldots=b_{m}=0, e (ii) para um lado direito geral b_{1}, \ldots, b_{m} ?
\left[\begin{array}{ll}3 & 1 \\\\ 6 & 4 \\\\ 9 & 3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz de coeficientes
A=\begin{pmatrix} 3 & 1\\\\ 6 & 4\\\\ 9 & 3 \end{pmatrix}
de um sistema 3\times2. O conteúdo que vamos usar é o Teorema do Posto (rank) para entender existência e unicidade de soluções: precisamos calcular o posto de A e comparar com o número de incógnitas n=2 e com o número de equações m=3.

Passo 2

Vamos achar o posto de A examinando suas linhas: r_1=(3,1), r_2=(6,4), r_3=(9,3). Note que
r_3=3\,r_1,
mas r_2 não é múltiplo de r_1 (pois 2\,r_1=(6,2)\neq r_2). Logo as linhas r_1 e r_2 são independentes e r_3 é combinação linear de r_1. Portanto
\mathrm{rank}(A)=2.

Passo 3

Como \mathrm{rank}(A)=2 e o número de colunas é n=2, as colunas são linearmente independentes. No caso homogêneo Ax=0, o Teorema do Posto diz que o espaço de soluções tem dimensão n-\mathrm{rank}(A)=2-2=0. Ou seja, a única solução é a trivial x=0.

Passo 4

Para o sistema não homogêneo Ax=b em \mathbb{R}^3, existe solução se e somente se b pertencer à imagem de A, que é um subespaço de dimensão 2 em \mathbb{R}^3. Há um único vínculo linear entre as linhas de A, que obtemos achando um vetor v=(v_1,v_2,v_3)\neq0 tal que
v^T A=0.
Resolvendo
(3v_1+6v_2+9v_3,\;v_1+4v_2+3v_3)=(0,0)
vemos que uma solução é v=(-3,0,1). Daí a condição de consistência é
v^T b=0 \quad\Longrightarrow\quad -3b_1+b_3=0 \quad\Longrightarrow\quad b_3=3b_1.

Passo 5

Quando b satisfaz b_3=3b_1, o sistema é consistente e, como \mathrm{rank}(A)=n, a solução é única. Se b_3\neq3b_1, não há solução.

Resposta

(i) Para b_1=\cdots=b_3=0 (caso homogêneo), existe apenas a solução trivial x=0.
(ii) Para um b geral, existe solução única se e somente se b_3=3b_1; caso contrário, não há solução.

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