As seguintes cinco matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, o que você pode dizer sobre o número de soluções no sistema correspondente: (i) quando o lado direito é b_{1}=\ldots=b_{m}=0, e (ii) para um lado direito geral b_{1}, \ldots, b_{m} ? \left[\begin{array}{ll}3 & 1 \\\\ 6 & 2 \\\\ 9 & 3\end{array}\right]
b geral em \mathbb{R}^{3} (caso não homogêneo).
O conteúdo envolvido é teoria de sistemas lineares: posto da matriz, consistência e dimensão do espaço solução.
Passo 2
Vamos achar o posto de A. Observe que a segunda coluna é \tfrac{1}{3} da primeira, pois
(1,2,3)^{T} = \tfrac{1}{3}\,(3,6,9)^{T}.
Logo as colunas são linearmente dependentes e \text{rank}(A)=1.
Passo 3
No caso homogêneo A x=0, a dimensão do espaço solução é
\dim\ker(A) = n - \text{rank}(A) = 2 - 1 = 1.
Isso significa que há infinitas soluções não-triviais (um parâmetro livre).
Passo 4
No caso não homogêneo A x=b, o sistema é consistente se, e somente se, b pertencer ao espaço coluna de A, que é a reta gerada por (3,6,9)^{T}. Em outras palavras, existem soluções apenas quando
b = \alpha\,(3,6,9)^{T} \quad\text{para algum}\\ \alpha\in\mathbb{R}.
Se b não satisfaz essa condição, o sistema não tem solução. Se satisfaz, então a dimensão do espaço solução continua sendo 1, ou seja, há infinitas soluções.
Resposta
(i) Para b=(0,0,0)^{T} o sistema tem infinitas soluções (dimensão do núcleo igual a 1).
(ii) Para b geral, existe solução somente se b for múltiplo de (3,6,9)^{T}; quando existir, há infinitas soluções; caso contrário, não há solução.