As seguintes cinco matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, o que você pode dizer sobre o número de soluções no sistema correspondente: (i) quando o lado direito é b_{1}=\ldots=b_{m}=0, e (ii) para um lado direito geral b_{1}, \ldots, b_{m} ?
\left[\begin{array}{lll}1 & 4 & 3 \\\\ 6 & 4 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado apresenta a matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 3\\\\ 6 & 4 & 1 \end{pmatrix},
que define um sistema linear com m=2 equações e n=3 incógnitas. O conteúdo principal é o posto (rank) da matriz e o teorema do posto–nulidade, que nos diz quantas soluções existem nos casos (i) homogêneo b=0 e (ii) geral b qualquer em \mathbb{R}^2.

Passo 2

Vamos determinar o posto de A. Note que as duas linhas
(1,4,3)\quad\text{e}\quad(6,4,1)
não são múltiplos uma da outra (pois 6/1\neq4/4), logo são linearmente independentes. Como há duas linhas, o posto máximo é 2 e de fato
\mathrm{rank}(A)=2.

Passo 3

Caso (i): sistema homogêneo A x=0. Pelo teorema do posto–nulidade, a dimensão do espaço solução \dim\ker A é
n - \mathrm{rank}(A) = 3 - 2 = 1.
Como a nulidade é positiva, há infinitas soluções não triviais (uma reta de soluções).

Passo 4

Caso (ii): sistema A x = b com b\in\mathbb{R}^2 arbitrário. O sistema é consistente se e somente se b pertence à imagem de A. Mas
\dim\bigl(\mathrm{Im}(A)\bigr) = \mathrm{rank}(A) = 2
e o espaço alvo também é \mathbb{R}^2, então \mathrm{Im}(A)=\mathbb{R}^2. Logo, para todo b existe pelo menos uma solução. E como o espaço de soluções de A x=0 tem dimensão 1, cada solução particular gera uma família infinita de soluções.

Resposta

(i) Para b=0: infinitas soluções (dimensão da solução =1).
(ii) Para b geral: sempre consistente e tem infinitas soluções.

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