Quais dos seguintes conjunto
abaixo são subespaços vetoriais de
?
Passo 1
O enunciado pergunta se o conjunto
é um subespaço vetorial de
. O conjunto dado é
Informações relevantes que temos: qualquer vetor em
tem primeira coordenada
; as demais coordenadas
podem ser quaisquer números reais.
Passo 2
Vou lembrar a definição prática que usamos na prova (aquela que salva tempo): um subconjunto
é subespaço vetorial se e somente se
-
contém o vetor nulo (ou seja, ), -
é fechado sob adição: se e então , -
é fechado sob multiplicação por escalar: se e então .
Explicando cada item de forma bem clara: o vetor nulo é o vetor que representa “nada” em termos de deslocamento e tem todas as coordenadas zero; fechamento sob adição significa que somando dois vetores do conjunto o resultado continua no conjunto; fechamento por escalar significa que multiplicando um vetor do conjunto por qualquer número real o resultado continua no conjunto.
Passo 3
Verificar presença do vetor nulo. O vetor nulo em
é
. Como a condição para pertencer a
é
, e em
a primeira coordenada é
, então
. Logo o conjunto não é vazio e contém o vetor nulo.
Passo 4
Verificar fechamento sob adição. Tome dois vetores quaisquer de
. Escrevemos
onde
. Agora calculamos a soma coordenada a coordenada:
A primeira coordenada da soma é
, portanto
satisfaz a condição
e assim
. Conclusão:
é fechado sob adição.
Passo 5
Verificar fechamento sob multiplicação por escalar. Tome um vetor qualquer
e um escalar
. Multiplicando por
obtemos
A primeira coordenada continua sendo
, então
satisfaz
e portanto
. Conclusão:
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 6
Como verificamos os três requisitos essenciais — contém o vetor nulo, fechado sob adição e fechado sob multiplicação por escalar — concluímos que
é um subespaço vetorial de
.
Interpretação geométrica rápida (útil pra prova): o conjunto é o plano formado pelos eixos
e
(o chamado plano
), que passa pela origem. Todo plano que passa pela origem e é definido por uma equação linear homogênea desse tipo é um subespaço vetorial. Dica prática: se o conjunto é um plano deslocado (por exemplo
), ele não contém o vetor nulo e portanto não é subespaço; se passa pela origem, verifique as duas fechamentos rápidos.
Interpretação geométrica rápida (útil pra prova): o conjunto
Resposta
Sim,
é um subespaço vetorial de
.