Quais dos seguintes conjunto W abaixo são subespaços vetoriais de \mathbb{R}^{3} ?
W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; x=0\right\}

Passo 1

O enunciado pergunta se o conjunto W é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{3}. O conjunto dado é
W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\;|\;x=0\}.
Informações relevantes que temos: qualquer vetor em W tem primeira coordenada x=0; as demais coordenadas y,z podem ser quaisquer números reais.

Passo 2

Vou lembrar a definição prática que usamos na prova (aquela que salva tempo): um subconjunto W\subseteq\mathbb{R}^{3} é subespaço vetorial se e somente se
  1. W contém o vetor nulo (ou seja, (0,0,0)\in W),
  2. W é fechado sob adição: se u\in W e v\in W então u+v\in W,
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar: se u\in W e c\in\mathbb{R} então c\,u\in W.
Explicando cada item de forma bem clara: o vetor nulo é o vetor que representa “nada” em termos de deslocamento e tem todas as coordenadas zero; fechamento sob adição significa que somando dois vetores do conjunto o resultado continua no conjunto; fechamento por escalar significa que multiplicando um vetor do conjunto por qualquer número real o resultado continua no conjunto.

Passo 3

Verificar presença do vetor nulo. O vetor nulo em \mathbb{R}^{3} é (0,0,0). Como a condição para pertencer a W é x=0, e em (0,0,0) a primeira coordenada é 0, então (0,0,0)\in W. Logo o conjunto não é vazio e contém o vetor nulo.

Passo 4

Verificar fechamento sob adição. Tome dois vetores quaisquer de W. Escrevemos
u=(0,y_{1},z_{1})\in W,\qquad v=(0,y_{2},z_{2})\in W,
onde y_{1},y_{2},z_{1},z_{2}\in\mathbb{R}. Agora calculamos a soma coordenada a coordenada:
u+v=(0+0,\;y_{1}+y_{2},\;z_{1}+z_{2})=(0,\;y_{1}+y_{2},\;z_{1}+z_{2}).
A primeira coordenada da soma é 0, portanto u+v satisfaz a condição x=0 e assim u+v\in W. Conclusão: W é fechado sob adição.

Passo 5

Verificar fechamento sob multiplicação por escalar. Tome um vetor qualquer u=(0,y,z)\in W e um escalar c\in\mathbb{R}. Multiplicando por c obtemos
c\,u=(c\cdot 0,\;c\cdot y,\;c\cdot z)=(0,\;c y,\;c z).
A primeira coordenada continua sendo 0, então c\,u satisfaz x=0 e portanto c\,u\in W. Conclusão: W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 6

Como verificamos os três requisitos essenciais — contém o vetor nulo, fechado sob adição e fechado sob multiplicação por escalar — concluímos que W é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{3}.
Interpretação geométrica rápida (útil pra prova): o conjunto \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}:x=0\} é o plano formado pelos eixos y e z (o chamado plano yz), que passa pela origem. Todo plano que passa pela origem e é definido por uma equação linear homogênea desse tipo é um subespaço vetorial. Dica prática: se o conjunto é um plano deslocado (por exemplo x=1), ele não contém o vetor nulo e portanto não é subespaço; se passa pela origem, verifique as duas fechamentos rápidos.

Resposta

Sim, W é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{3}.

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